Page 70 - MATINF Nr. 11-12

˘
70 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU EXAMENE

1
a) Calculat , i 1 ? .
2
2
b) Ar˘atat , i c˘a x ? (−x) ≥ −x , ∀ x ∈ M.
c) Determinat , i perechile (a, b) de numere din M pentru care a ? b = 1.
SUBIECTUL al III-lea

2
1. Se consider˘a funct , ia f : R → R, f(x) = xarctg x − ln(x + 1).
x
0
a) Ar˘atat , i c˘a f (x) = arctg x − , x ∈ R.
2
x + 1
a
b) Demonstrat , i c˘a funct , ia f este convex˘ pe R.
0
c) Fie g : R → R, g(x) = f (x). Determinat , i imaginea funct , iei g.
x n
∗
2. Se consider˘a funct , iile f n : R → R, f n (x) = , n ∈ N .
2
x + 4
1
2
a) Ar˘atat , i c˘a F 1 : R → R, F 1 (x) = ln(x + 4), este o primitiv˘ a funct , iei f 1 .
a
2
b) Determinat , i o primitiv˘a a funct , iei f 2 a c˘arei reprezentare grafic˘a trece prin punctul
A(2, −π/2).
c) Ar˘atat , i c˘a orice primitiv˘a a funct , iei f 4 este bijectiv˘a.

Testul 5

Marius Macarie 5

SUBIECTUL I
3
3
1. Calculat , i modulul num˘arului z = (1 + i) + (1 − i) .
2
2. Fie x 1 s , i x 2 solut , iile ecuat , iei x + 2x + 4 = 0. S˘ se arate c˘a x 1 + x 2 ∈ Z.
a
x 2 x 1
x+2 x+1
3. Rezolvat , i ˆın mult , imea numerelor reale ecuat , ia: 4 2 + 2 = 12.
a
4. Calculat , i probabilitatea ca alegˆand un num˘ar din mult , imea numerelor naturale de dou˘
a
cifre, acesta s˘ nu cont , in˘ cifra 7.
a
ˆ
a
5. In reperul cartezian xOy se consider˘ punctele A(3, 5), B(−1, 4), C(2, −3). Scriet , i ecuat , ia
ˆın˘alt , imii din vˆarful C ˆın triunghiul ABC.
◦
6. Paralelogramul ABCD are AB = 8, BC = 4 s , i m(BAD) = 60 . Calculat , i produsul
’
−→ −−→
scalar AC · AD.
SUBIECTUL al II-lea
Ñ é
2 −1 −3
1. Se consider˘a matricea A(a, b) = −1 a 2 (a, b ∈ R) s , i sistemul de ecuat , ii
3 b −4


2x − y − 3z = 1

−x + ay + z = a + b .

3x + by − 4z = a

5
Lect. univ. dr., Universitatea Nat , ional˘a de S , tiint , ˘a s , i Tehnologie POLITEHNICA Bucures , ti, Centrul
Universitar Pites , ti, vasile.macarie@upb.ro