Page 67 - MATINF Nr. 11-12

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU EXAMENE 67

√
f(x) + 3 ln 2
b) Calculat , i lim .
x→0 x
a
c) Ar˘atat , i c˘a ecuat , ia f(x) = 0 are o singur˘a r˘ad˘acin˘ real˘a.

2
2. Fie f : (−1, ∞) → R, f(x) = x + 4 − x ln(x + 1).
2
R f(x) + x ln(x + 1) π
a) Ar˘atat , i c˘a 2 2 dx = .
0 (x + 4) 8
1
R 2
b) Calculat , i (x + 4 − f(x))dx.
0
f(x)
c) Calculat , i aria suprafet , ei plane delimitate de graficul funct , iei g : R → R, g(x) = ,
x
axa Ox s , i dreptele de ecuat , ii x = 1 s , i x = 2.

Testul 2

¸
Mihai Tene 2

SUBIECTUL I
√
1 + 3i
1. Calculat , i |z|, s , tiind c˘a z = .
1 + i
2
2. Aflat , i num˘arul ˆıntreg a, s , tiind c˘a A(2a, a) ∈ G f , unde f : R → R, f(x) = x + x − 3.
2
3. Rezolvat , i ˆın mult , imea numerelor reale ecuat , ia log (x − 3x) = log (5x − 7).
3
3
√ √ √ √
4. Aflat , i probabilitatea ca alegˆand un num˘ar din mult , imea { 0, 1, 2, . . ., 199}, acesta
s˘ fie rat , ional.
a
5. Aflat , i ecuat , ia dreptei care trece prin punctul A(3, 2) s , i este perpendicular˘ pe dreapta d:
a
x − y + 3 = 0.

3
6. Fie x ∈ π ; π , astfel ˆıncˆat sin x = . Aflat , i tg x.
2 5
SUBIECTUL al II-lea
Ñ é
m 1 1
1. Se consider˘a matricea A(n) = 2m − 1 3 1 , m ∈ R.
m m − 3 1
a) Aflat , i m, astfel ˆıncat matricea A(m) s`a fie inversabil˘a.

b) Aflat , i rangul matricei A(1).

c) Aflat , i inversa matrici A(2).
3
2
2. Fie polinomul f = X − 4X + X + a, f ∈ R[X], cu r˘ad˘acinile complexe x 1 , x 2 , x 3 .
a) Pentru a = 6, aflat , i cˆatul s , i restul ˆımp˘art , irii polinomului f la (X − 3).

b) Pentru a = −4, aflat , i x 1 , x 2 , x 3 .
3
3
3
c) Aflat , i x + x + x , ˆın funct , ie de parametrul a.
3
1
2
2
Profesor, Liceul Teoretic ,,Horia Hulubei”, M˘agurele, Ilfov, tene311@gmail.com