Page 68 - MATINF Nr. 11-12

˘
68 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU EXAMENE

SUBIECTUL al III-lea

1. Se considera f : R → R, f(x) = (x − 1)(x − 2)(x − 3) − 3.

a
a) Calculat , i ecuat , ia tangentei la graficul funct , iei ˆın punctul de abscis˘ x 0 = 2.
Å ã x+5
f(x) + 3
b) Calculat , i lim .
x→∞ f(x + 1) + 3
0
c) Ar˘atat , i c˘a ecuat , ia f (x) = 0 are exact dou˘a r˘ad˘acini reale.
2x + 3
2. Fie functia f : (2, +∞) → R, f(x) = .
2
x + 3x − 10
R 1
x
a) Calculat , i (2x + 3)e dx.
0
R 4 1
b) Calculat , i f(x) · dx.
3 2x+3
R 5 p
c) Aflat , i p, q ∈ N, p s , i q prime ˆıntre ele, s , tiind c˘a f(x)dx = ln .
3 q
Testul 3
a
Antonio-Mihail Nuic˘ 3

SUBIECTUL I

1. S˘a se calculeze 1 + 6 + 11 + . . . + 1001.
2
2. S˘a se determine a ∈ R pentru care solut , iile x 1 , x 2 ale ecuat , iei ax − x − 1 = 0 sunt mai
mari ca 1.
√
Ä ä 2024
3. S˘a se determine termenul ce nu cont , ine x din dezvoltarea x + √ 1 .
3
x 2
a
a
4. Se consider˘ dreapta de ecuat , ie d: 3x − y + 1 = 0. S˘ se determine a ∈ R cu proprietatea
a
c˘ distant , a de la M(−1, a) la d este 1.
◦
◦
◦
◦
◦
5. S˘a se calculeze S = cos 3 + cos 6 + cos 9 + . . . + cos 174 + cos 177 .
6. Ce arie are un triunghi ABC cu AB = 4, A = π/6, B = π/3.
SUBIECTUL al II-lea

 x + y + z = 1
2
3
1. Se consider˘a sistemul ax + a y + a z = 1 , a, b ∈ R.
bx + b y + b z = 1
 2 3
a) S˘a se rezolve sistemul pentru a = 2, b = −1.
b) S˘a se determine perechile (a, b) pentru care sistemul este compatibil determinat.
c) S˘a se determine perechile (a, b) pentru care sistemul este compatibil nedeterminat.
∗
2. Fie polinoamele P n (X) = X 2n + 2nX + 2n − 1, n ∈ N .
a) S˘a se descompun˘a ˆın factori ireductibili ˆın C[X] polinomul P 2 .

∗
a
a
b) S˘a se arate c˘ −1 este r˘ad˘acin˘a dubl˘ a lui P n , pentru oricare n ∈ N .
3
Lect. univ. dr., Universitatea Nat , ional˘a de S , tiint , ˘a s , i Tehnologie POLITEHNICA Bucures , ti, Centrul
Universitar Pites , ti, antonio.nuica@upb.ro