Page 65 - MATINF Nr. 11-12

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU EXAMENE 65

Testul 4

Ioan Ropot˘ 4
a

SUBIECTUL I
√ √ √ √
1. Ar˘atat , i c˘a numerele 3 + 2 s , i 3 − 2 sunt irat , ionale.

2. S˘a se g˘aseasc˘a primul termen s , i rat , ia unei progresii aritmetice dac˘a a 2 + a 4 = 16 s , i
a 1 · a 5 = 28.

x
x
x
3. Ar˘atat , i c˘a ecuat , ia 2 + 3 = 5 admite solut , ia unic˘a x = 1.
2
a
4. Rezolvat , i urm˘atoarea ecuat , ie trigonometric˘ sin x − 4 sin x + 3 = 0.
2
5. Fie dreptele d 1 : y = m x + 4, d 2 : y = 2x + 7. Determinat , i valorile parametrului real m
pentru care d 1 s , i d 2 sunt paralele.
6. Ar˘atat , i c˘a triunghiul ABC este isoscel, unde A(2, 3), B(−1, −1) s , i C(6, 0).
SUBIECTUL al II-lea
Ç√ å
3 − 1
1. Se consider˘a matricea A = 2 √ 2 .
1 3
2 2
a) Calculat , i det A.
2
b) Calculat , i A .
c) Calculat , i A 2024 .
x + y
2. Pe mult , imea M = (−1, 1) definim legea de compozit , ie x ∗ y = .
1 + xy

a) Ar˘atat , i c˘a 1 ∗ 2023 = 1.
b) Ar˘atat , i c˘a legea este bine definit˘a.

c) Determinat , i elementele simetrizabile relativ la legea considerat˘a.

SUBIECTUL al III-lea
1. Se d˘a funct , ia f : R → R, f(x) = x − 2arctg x.

a) Ar˘atat , i c˘a lim f(x) = ∞.
x→∞
b) Ar˘atat , i c˘a x = 0 este punct de inflexiune.

c) Demonstrat , i c˘a dreapta de ecuat , ie y = x − π este asimptot˘a oblic˘a la graficul funct , iei
spre +∞.
∗
2. Pentru oricare n ∈ N , se consider˘a funct , ia f n : R → R, f n (x) = | sin nx| s , i integrala
R 2π f n(x)
I n = dx.
π x
R 2π
a) Calculat , i f 3 (x)dx.
0
∗
b) Ar˘atat , i c˘a I n ≤ ln 2, pentru oricare n ∈ N .
Ä ä
∗
c) Ar˘atat , i c˘a I n ≥ 2 1 + 1 + . . . + 1 , pentru oricare n ∈ N .
π n+1 n+2 2n
4
Profesor, Colegiul Tehnic ,,Costin D. Nenit , escu”, Bucures , ti, ropotaioan@yahoo.com