Page 64 - MATINF Nr. 11-12

˘
64 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU EXAMENE

Testul 3

Marius Macarie 3

SUBIECTUL I
z
1. Determinat , i num˘arul complex z pentru care z + 2 · ¯ = 6 + 5i.
2
2. Determinat , i mult , imea valorilor reale ale lui a pentru care ecuat , ia x − ax + a + 3 = 0 nu
are solut , ii reale.
3. Rezolvat , i ˆın mult , imea numerelor reale ecuat , ia 2 log (x − 2) = 2 + log (x + 1).
2
2
4. Se consider˘a mult , imea A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Determinat , i num˘arul de submult , imi cu
patru elemente ale lui A, care cont , in exact trei numere pare.
ˆ
5. In reperul cartezian xOy se consider˘a punctele A(4, 3) s , i B(−2, 1). Determinat , i ecuat , ia
dreptei AC, s , tiind c˘a AOBC este paralelogram.
π 5 120

a
6. Dac˘ x ∈ 0, s , i sin x = , ar˘atat , i c˘a tg 2x = .
2 13 119
SUBIECTUL al II-lea
ßÅ ã ™
a b
2
2
a
1. Se consider˘ mult , imea G = a, b ∈ Z, a − 5b = 1 ⊂ M 2 (Z).
5b a
Å ã Å ã
1 0 0 0
a) Verificat , i c˘a I 2 = ∈ G s , i O 2 = 6∈ G.
0 1 0 0
b) Ar˘atat , i c˘a pentru orice dou˘ matrice A, B ∈ G are loc egalitatea A · B = B · A.
a
c) Demonstrat , i c˘a inversa oric˘arei matrice din G apart , ine mult , imii G.
2
3
2. Se consider˘ polinomul f = X + (m − 2)X − 6X + 2m + 3.
a
a) Pentru m = 3, determinat , i cˆatul s , i restul ˆımp˘art , irii polinomului f la X − 2.
b) Determinat , i m ∈ R astfel ˆıncˆat polinomul f este divizibil cu X + 1.
4
4
4
c) Pentru m = 1, calculat , i x + x + x , unde x 1 , x 2 , x 3 sunt r˘ad˘acinile polinomului f.
2
1
3
SUBIECTUL al III-lea
x
1. Se consider˘ funct , ia f : R → R, f(x) = √ .
a
2
4x + 8x + 5
√
f(x) − f(0) 5
a) Ar˘atat , i c˘a lim = .
x→0 x 5
b) Determinat , i ecuat , ia asimptotei orizontale spre +∞ la graficul funct , iei f.
c) Determinat , i mult , imea valorilor funct , iei f.
√
x
2
2. Se consider˘ funct , ia f : R → R, f(x) = e · x + 10.
a
f(x)
a) Aflat , i primitiva G a funct , iei g : R → R, g(x) = √ astfel ˆıncˆat G(0) = 1.
2
x + 10
R 1
b) Calculat , i x · e −x · f(x)dx.
0
c) Aflat , i volumul corpului obt , inut prin rotat , ia ˆın jurul axei Ox a graficului funct , iei
h : [1, 2] → R, h(x) = f(x).

3
Lect. univ. dr., Universitatea Nat , ional˘a de S , tiint , ˘a s , i Tehnologie POLITEHNICA Bucures , ti, Centrul
Universitar Pites , ti, vasile.macarie@upb.ro