Page 99 - MATINF Nr. 1

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU EXAMENE 99

Analiz˘a Matematic˘a

2
2
2
1 + 2 + 3 + . . . + n 2
1. S˘a se calculeze limita s , irului a n = .
n 3

x
e + x − α , x ≤ 1

2. Fie funct , ia f : R → R, f(x) = 1 , α ∈ R. S˘a se studieze continuita-
 x x−1 , x > 1
tea funct , iei.
3. Fie funct , ia f : R → R, f(x) = A cos ωx + B sin ωx, unde ω ∈ R. S˘a se demonstreze
egalitatea
00
2
f (x) + ω f(x) = 0, ∀ x ∈ R.

x
 e + a , x ≤ 0
√
 √
4. Se d˘a funct , ia f : R → R, f(x) = 4 + x − b , a, b ∈ R, b > 0.
, x > 0


x
a) S˘a se determine a s , i b astfel ˆıncˆat f s˘a fie continu˘a.
b) S˘a se calculeze primitivele funct , iei f pentru a s , i b determinat , i la punctul anterior.
R π/4 2tg x+3
5. S˘a se calculeze 0 sin x+2 cos x dx.
2
2
Geometrie
1. Fie ABC un triunghi s , i D, E, F picioarele ˆın˘at , imilor din A, B, respectiv C. S˘a se arate
c˘a:
a) tiunghiurile AEF, DEC, DBF sunt asemenea cu triunghiul ABC;
b) bisectoarele triunghiului DEF coincid cu ˆın˘alt , imile triunghiului ABC.
2. Se d˘a un cerc s , i o coard˘a AB. Prin mijlocul C al arcului AB se duc dou˘a coarde oarecare
ce intersecteaz˘a cercul ˆın D s , i E, iar coarda AB respectiv ˆın F s , i G. Demonstrat , i c˘a
patrulaterul DEGF este inscriptibil.
√ √
3. a) Fie ABC un triunghi cu lungimile laturilor egale cu 2, 2, 1 + 3. Determinat , i
unghiurile triunghiului. √
ˆ
b) In orice triunghi avem R(b + c) ≥ a bc, notat , iile fiind cele uzuale.
4. Fie ABC un triunghi s , i AD, perpendicular˘a pe planul s˘au. Ducem AE ⊥ BD (E ∈ BD)
s , i AF ⊥ DC (F ∈ CD). Ar˘atat , i c˘a patrulaterul BCEF este inscriptibil.
ˆ
5. Intr-un triunghi ABC fie D s , i E mijloacele laturilor BC, respectiv CA. S¸tiind c˘a A(1, −1),
D(1, 2), E(2, 0), determinat , i:

a) s˘a se scrie ecuat , iile laturilor triunghiului ABC;
b) ecuat , ia cercului circumscris triunghiului ABC.

(Admiterea la Universitatea din Pites , ti, specializ˘arile Matematic˘a s , i Matematic˘a-Informatic˘a, 1995)