Page 98 - MATINF Nr. 1

˘
98 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU EXAMENE

Testul 2

Raluca Mihaela Georgescu 2

SUBIECTUL I
√
¶ ©
Fie mult , imea A = a + b 2| a, b ∈ Z .
1. S˘a se arate c˘a (A, +) este grup abelian.
3
2
2. S˘a se arate c˘a polinomul f ∈ R[X], f(X) = X − 3X + X + 1 are o r˘ad˘acin˘a x 0 ∈ A, cu
x 0 < 3.
2
4
3. S˘a se arate c˘a toate r˘ad˘acinile ecuat , iei x − 6x + 1 = 0 se afl˘a ˆın mult , imea A.
SUBIECTUL al II-lea
x n
?
Fie funct , iile f n : R → R, f n (x) = , n ∈ N .
2
x + 2x + 5
1. S˘a se determine ecuat , iile asimptotelor la graficul funct , iei f 3 .
2. S˘a se determine num˘arul punctelor de extrem ale funct , iei g = f 3 − f 2 .
1 R
3. S˘a se calculeze lim nI n , unde I n = f n (x)dx.
n→∞ 0
SUBIECTUL al III-lea
ˆ
In planul de coordonate xOy se consider˘a punctele A(1, 0), B(3, 1) s , i C(1, 3).
1. Dac˘a M este mijlocul segmentului [BC], s˘a se determine coordonatele unui punct D
din plan, D 6= A, astfel ˆıncˆat ariile triunghiurilor ABC s , i BCD s˘a fie egale s , i punctele
A, M, D s˘a fie coliniare.
2. S˘a se determine coordonatele centrului cercului circumscris triunghiului ABC.
3. S˘a se g˘aseasc˘a dou˘a puncte E s , i F ˆın cadranul IV astfel ˆıncˆat AEFB s˘a fie p˘atrat.

Testul 3

D.M.I. 3

Algebr˘a
√ √
2
1. S˘a se rezolve ecuat , ia 2 x−2 + 5 x −3x+2 = 2.
n
2
3
1
2. S˘a se calculeze C − 2C + 3C + . . . + (−1) n−1 nC .
n n n n
3. Fie E n o matrice p˘atratic˘a de ordinul n cu toate elementele egale cu 1. S˘a se arate c˘a:
2
a) E = nE n ;
n
b) I n − E n este inversabil˘a s , i s˘a se arate c˘a inversa ei este egal˘a cu
1
I n − E n .
n − 1
4. Pe mult , imea G = (0, +∞) − {1} se defines , te legea ,,∗” astfel x ∗ y = x ln y . S˘a se arate c˘a
,,∗” este o lege de compozit , ie pe G s , i s˘a se demonstreze c˘a (G, ∗) este grup comutativ.
5. a) Combin˘ari (definit , ie).
n
b) Ar˘atat , i c˘a num˘arul submult , imilor unei mult , imi cu n elemente este 2 .
k
k
c) Ar˘atat , i c˘a: C = C n−k ; C = C k + C k−1 .
n n n n−1 n−1
2
Lect. univ. dr., Universitatea din Pites , ti, gemiral@yahoo.com
3
Universitatea din Pites , ti, revista.matinf@upit.ro