Page 95 - MATINF Nr. 1

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU EXAMENE 95

SUBIECTUL al II-lea (30p)

Ü ê
x −1 1
1. Se consider˘a matricea A(x) = −1 x −1 , unde x este num˘ar real.

1 −1 x
a) Calculat , i detA(0). (5p)

b) Rezolvat , i ˆın mult , imea numerelor reale ecuat , ia detA(log x) = 0. (5p)
2
c) Ar˘atat , i c˘a A(a) · A(b) = A(ab + 2) + (a + b) · A(0), pentru orice numere reale a s , i b. (5p)
3
2
2. Se consider˘a polinomul f = X + aX + aX + b, unde a, b ∈ R s , i fie x 1 , x 2 , x 3 r˘ad˘acinile
polinomului.
2
a) Aflat , i a s , i b s , tiind c˘a polinomul X + 1 divide polinomul f. (5p)
b) Pentru b = 1, exist˘a a ∈ Z pentru care are loc egalitatea (5p)

Ç å
1 1 1 1 1 1 1 1 1
+ + = 2 + + + + + ?
x 3 x 3 2 x 3 3 x 2 1 x 2 x 2 3 x 1 x 2 x 3
2
1
c) Ar˘atat , i c˘a, pentru b = 1 s , i a ∈ (−∞, −1] ∪ [3, ∞) polinomul f are toate r˘ad˘acinile reale.
(5p)
SUBIECTUL al III-lea (30p)

1. Se consider˘a funct , ia f : R → R, f(x) = sin x − x.

a) Ar˘atat , i c˘a funct , ia f este inversabil˘a. (5p)
√
b) Ar˘atat , i c˘a 2(2 − 3)(3 sin 1 + π) > 3. (5p)

x + y f(x) + f(y)
Å ã
c) Ar˘atat , i c˘a f ≥ , pentru orice x, y ∈ [0, π]. (5p)
2 2
1 x
Z n
2. Pentru fiecare num˘ar natural nenul n, se consider˘a integrala I n = dx.
4
0 x + 1
a) Calculat , i I 3 . (5p)

b) Calculat , i 8 P I k . (5p)
k=1
c) Calculat , i lim nI n . (5p)
n→∞

Testul 5

Antonio Nuic˘a 5

SUBIECTUL I (30p)

1 − 3i
. (5p)

1. S˘a se determine
2 + i

x
x
2. S˘a se rezolve ˆın R ecuat , ia 4 − 3 · 2 + 2 = 0. (5p)
5
Lect. univ. dr., Universitatea din Pites , ti, antonio 74nm@yahoo.com