Page 96 - MATINF Nr. 1

˘
96 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU EXAMENE

2
3. S˘a se determine m ∈ R pentru care mx − mx + 1 > 0, ∀ x ∈ R. (5p)
4. S˘a se determine num˘arul funct , iilor injective f : {1, 2, 3, 4, 5} → {1, 2, 3, 4, 5} cu proprieta-
tea f(1) = 1. (5p)
5. S˘a se rezolve ˆın R ecuat , ia sin 2x = sin x. (5p)

6. S˘a se calculeze raza cercului circumscris triunghiului ABC, pentru care AB = 3, BC = 5,
CA = 4. (5p)

SUBIECTUL al II-lea (30p)
2
1. Fie G = (a, ∞), a > 0 s , i x ◦ y = xy − ax − ay + a + a, x, y ∈ G.
a) S˘a se arate c˘a G este parte stabil˘a relativ la legea de compozit , ie ◦. (5p)

b) S˘a se arate c˘a (G, ◦) este grup comutativ. (5p)

c) S˘a se determine inversul elementului a + 1 ˆın grupul G. (5p)

x − y + z = 1



2. Se consider˘a sistemul (S): x + y + z = 3 , m ∈ R.


mx + y + z = 3m

a) S˘a se determine valorile lui m pentru care sistemul are solut , ie unic˘a. (5p)
b) S˘a se rezolve sistemul pentru m = 2. (5p)
c) S˘a se rezolve sistemul pentru m = 1. (5p)

SUBIECTUL al III-lea (30p)
2
x − 1
1. Se consider˘a funct , ia f : R → R, f(x) = .
2
x + 1
a) S˘a se determine asimptotele la graficul lui f. (5p)
b) S˘a se studieze monotonia lui f. (5p)

c) S˘a se determine ecuat , ia tangentei la graficul lui f ˆın punctul (0, −1). (5p)

Z 1 x n
2. Fie I n = dx, n ≥ 1.
0 7x + 8
a) S˘a se calculeze I 1 . (5p)
1
b) S˘a se arate c˘a 7I n+1 + 8I n = , pentru orice n ≥ 1. (5p)
n + 1
c) S˘a se calculeze lim I n .(5p)
n→∞