Page 93 - MATINF Nr. 1

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU EXAMENE 93

SUBIECTUL al III-lea (30p)

1. Se consder˘a funct , ia f : R → R, dat˘a prin f(x) = x − sin x, pentru orice x ∈ R.

a) S˘a se arate c˘a funct , ia f este strict cresc˘atoare. (5p)
b) S˘a se arate c˘a graficul funct , iei f nu are asimptote. (5p)

»
c) S˘a se arate c˘a g : R → R, g(x) = 3 f(x), oricare ar fi x ∈ R, este derivabil˘a pe R. (5p)
Z 1
2 n
∗
∗, dat prin I n = (1 − x ) dx, ∀ n ∈ N .
2. Fie s , irul (I n ) n∈N
−1
a) S˘a se calculeze I 2 . (5p)
2n + 2
∗
b) S˘a se demonstreze c˘a I n+1 = I n , ∀ n ∈ N . (5p)
2n + 3
k
n
X (−1) C k
∗
c) S˘a se demonstreze c˘a s , irul (a n ) n∈N definit prin a n = n , ∀ n ∈ N , are limita 0.
∗,
2k + 1
k=0
(5p)
Testul 3
Ileana T¸ˆarc˘a 3

SUBIECTUL I (30p)

2
1. Calculat , i partea real˘a a num˘arului complex (1 − 5i) . (5p)
√
»
2. Rezolvat , i ecuat , ia 3 15 − x − 4 = 2. (5p)
3. Se consider˘a mult , imea A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Determinat , i probabilitatea ca alegˆand la
ˆıntˆamplare una dintre submult , imile lui A, aceasta s˘a cont , in˘a exact 3 elemente. (5p)

2
4. Fie f m , g : R → R, f m (x) = x + mx + m s , i g(x) = x + 2. Determinat , i m ∈ R pentru
∩ G g are un singur element. (5p)
care G f m
5. Fie dreptele d 1 : mx + 2y + 1 = 0, d 2 : x + (m + 1)y + 5 = 0. S˘a se determine m ∈ R astfel
ˆıncˆat d 1 k d 2 . (5p)

◦
◦
2
2
6. S˘a se calculeze sin 1480 + cos 2200 . (5p)
SUBIECTUL al II-lea (30p)
Ü ê Ü ê Ü ê
1 0 0 0 1 0 0 0 0
1. Se consider˘a matricele A = 0 1 0 , B = 0 0 0 s , i O 3 = 0 0 0 .
0 0 0 1 0 0 0 0 0

2
a) S˘a se calculeze A . (5p)
b) S˘a se calculeze rangul matricei A + B. (5p)
m
c) S˘a se calculeze m·n, unde m este cel mai mic num˘ar natural nenul pentru care (A·B) = O 3
n
s , i n este cel mai mic num˘ar natural nenul pentru care (B · A) = O 3 . (5p)
4
2. Se consider˘a polinomul f = X − 3X + 1, cu r˘ad˘acinile x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ∈ C.
3
Profesor, Liceul de Arte ,,Dinu Lipatti”, Pites , ti, ileana tirca@yahoo.ro