Page 92 - MATINF Nr. 1

˘
92 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU EXAMENE

2
Z
n
2
∗
2. Se consider˘a funct , ia f : R → R, f(x) = 2x − x s , i I n = f (x)dx, unde n ∈ N .
0
4
a) Ar˘atat , i c˘a I 1 = . (5p)
3
b) Ar˘atat , i c˘a s , irul (I n ) n≥1 este convergent. (5p)
c) Ar˘atat , i c˘a (2n + 1)I n = 2nI n−1 , ∀ n ≥ 2. (5p)

Testul 2

Sorin Ulmeanu 2

SUBIECTUL I (30p)

1. S˘a se rezolve ˆın mult , imea numerelor reale ecuat , ia |x − 1| = 2x − 5. (5p)

2
2. Fie ecuat , ia x −2x+m = 0, m ∈ R, care are solut¸iile reale x 1 s , i x 2 . S¸tiind c˘a |x 1 −x 2 | = 1,
s˘a se determine m. (5p)
π π
Å ã Å ã
3. S˘a se rezolve ecuat , ia sin x + + cos − x = 1, x ∈ R. (5p)
6 3
1 − x
4. S˘a se arate c˘a funct , ia f : (−1, 1) → R, f(x) = ln , ∀ x ∈ (−1, 1) este impar˘a. (5p)
1 + x

5. Fie G centrul de greutate al triunghiului ABC. S˘a se determine a, b ∈ R astfel ˆıncˆat s˘a
−→ −−→ −→
aib˘a loc egalitatea aGA + bGB = GC. (5p)
6. S˘a se determine ecuat , ia medianei din A a triunghiului ABC, s , tiind c˘a A(2, 2) s , i c˘a
ecuat , iile medianelor duse din B s , i C sunt 2x + y − 2 = 0, respectiv x − y + 2 = 0. (5p)

SUBIECTUL al II-lea (30p)


 ax + y + z = 1


1. Se consider˘a sistemul (S): x + ay + z = 0 , a ∈ R.


x + y + az = −1

2
a) Ar˘atat , i c˘a determinantul matricei sistemului este egal cu (a + 2)(a − 1) . (5p)
b) Determinat , i a ∈ R astfel ˆıncˆat (S) s˘a nu fie compatibil. (5p)
c) Aflat , i a ∈ R astfel ˆıncˆat solut , ia unic˘a (x 0 , y 0 , z 0 ) a sistemului (S) s˘a formeze o progresie
2
aritmetic˘a de rat , ie r = − . (5p)
5
2. Se consider˘a mult , imea de numere complexe G = {cos(qπ) + i sin(qπ) | q ∈ Q}.
√
1 3
a) S˘a se arate c˘a z = 0 nu se afl˘a ˆın G s , i c˘a ε = + i se afl˘a ˆın G. (5p)
2 2
b) S˘a se arate c˘a ˆınmult , irea numerelor complexe determin˘a pe G o structur˘a algebric˘a de
grup comutativ. (5p)
6
c) S˘a se arate c˘a polinomul f = X − 1 are toate r˘ad˘acinile ˆın G. (5p)
2
Profesor, Colegiul Nat , ional ,,Ion C. Br˘atianu”, Pites , ti, sorinulm@yahoo.com