Page 91 - MATINF Nr. 1

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU EXAMENE 91

Teste pentru examenul de Bacalaureat, specializarea
Matematic˘a-Informatic˘a

Testul 1
Daniel Jinga 1

SUBIECTUL I (30p)
2
1. Determinat , i numerele reale a, b s , tiind c˘a (a + bi)(b + ai) = (a − bi)(b − ai), unde i = −1.
(5p)

2
2. Determinat , i m ∈ R pentru care funct , ia f : R → R, f(x) = x − (m − 3)x + m − 4 are
valoarea minim˘a egal˘a cu 0. (5p)
x
x
x
3. Rezolvat , i ecuat , ia 6 − 2 − 2 · 3 + 2 = 0. (5p)
4. Aflat , i n ∈ Z cu proprietatea C n 2 = 1. (5p)
n+2
−→ −→
ˆ
5. In triunghiul ABC, AB = 3, BC = 6, AC = 4. Calculat , i AB · AC. (5p)
1
6. Fie x ∈ R astfel ˆıncˆat tg x = . Calculat , i sin 2x. (5p)
2
SUBIECTUL al II-lea (30p)

 x + my − z = 1


1. Se consider˘a sistemul de ecuat , ii liniare x + y − z = 2 , unde m ∈ R.


−x + y + z = 0

a) Ar˘atat , i c˘a matricea sistemului are rangul 2 pentru orice m ∈ R. (5p)
b) Determinat , i m ∈ R astfel ˆıncˆat sistemul s˘a fie compatibil. (5p)

2
2
2
c) Aflat , i solut , iile (x, y, z) ∈ Z × Z × Z cu proprietatea c˘a x + y + z = 42. (5p)
x + y
2. Fie G = (−1, 1) s , i x ∗ y = , ∀ x, y ∈ G.
1 − xy
◦
◦
a) Ar˘atat , i c˘a tg 27 ∗ tg 18 = 1. (5p)
b) Ar˘atat , i c˘a (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z), ∀ x, y, z ∈ G. (5p)
c) Rezolvat , i ˆın G ecuat , ia x ∗ x ∗ x = 2x ∗ 2x ∗ 2x. (5p)

SUBIECTUL al III-lea (30p)
2
3x + 3x + 1
1. Se consider˘a funct , ia f : R \ {−1, 0} → R, f(x) = .
3
x (x + 1) 3
1 1
a) Ar˘atat , i c˘a f(x) = − , ∀ x ∈ R \ {−1, 0}. (5p)
x 3 (x + 1) 3
b) Determinat , i coordonatele punctului situat pe graficul funct¸iei f, ˆın care tangenta la
graficul funct , iei f este perpendicular˘a pe axa ordonatelor. (5p)

1
c) Calculat , i lim (f(1) + f(2) + . . . + f(n)) nf(n) . (5p)
n→∞
1
Profesor, Colegiul Nat , ional ,,Ion C. Br˘atianu”, Pites , ti, jinga.daniel@yahoo.com