Page 90 - MATINF Nr. 1

˘
90 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU EXAMENE

Testul 5

Alina S , tefan 5

SUBIECTUL I
8
3
Ä √ ä
1. Ar˘atat , i c˘a num˘arul n = log 3 9 9 + 8 log 3 − este num˘ar natural.
2
3
2. Aflat , i distant , a dintre punctele de intersect , ie ale graficului funct , iei f : R → R, f(x) =
2
x + 4x + 3 cu axa absciselor.
4 27 2
Ç å x+1 Ç å x
3. Rezolvat , i ˆın R inecuat , ia: · = .
9 8 3
4. Calculat , i probabilitatea ca, alegˆand un num˘ar din mult , imea numerelor naturale de 3 cifre,
acesta s˘a fie cub perfect.
− → − → − → − → − → − →
5. Fie vectorii u = 2 i − 3 j s , i v = m i − (m − 1) j . S˘a se determine m ∈ R astfel ˆıncˆat
− → −→
u · v = 5.
π π
6. Calculat , i lungimea razei cercului circumscris triunghiului MNP, s , tiind c˘a M = , N =
6 3
s , i MN = 4.
SUBIECTUL al II-lea
! !
3 6 1 0
1. Se consider˘a matricele A = , I 2 = s , i X(a) = I 2 + a · A, unde a ∈ R.
−1 −2 0 1
2
a) Calculat , i det(A ).
b) Verificat , i dac˘a X(a) · X(b) = X(a + b + ab) pentru orice a, b ∈ R.
c) Determinat , i X 2018 (1).
2
3
2. Se consider˘a polinomul f = X − 3X + aX − 2, a ∈ R.
a) S˘a se determine a ∈ R astfel ˆıncˆat restul ˆımp˘art , irii lui f la X − 2 s˘a fie 4.
Ç å
9
b) S˘a se demonstreze c˘a dac˘a a ∈ , ∞ , atunci f nu are toate r˘ad˘acinile reale.
2

x 1 x 2 x 3

c) S˘a se determine a ∈ R astfel ˆıncˆat = 9, unde x 1 , x 2 , x 3 sunt r˘ad˘acinile
x 3 x 1 x 2

x 2 x 3 x 1

polinomului f.
SUBIECTUL al III-lea
3
1. Fie f : (0, ∞) → R, f(x) = x · ln x.
f(x) − f(e)
a) Calculat , i lim .
x→e x − e
b) Ar˘atat , i c˘a graficul funct , iei f nu admite asimptote.
1
c) Demonstrat , i c˘a f(x) ≥ − , pentru orice x ∈ (0, ∞).
3e
x n
?
2. Pentru fiecare n ∈ N se consider˘a funct , ia f n : R → R, f n (x) = .
2
x + 4
2 6
Z
Ä√ ä
a) Ar˘atat , i c˘a f 2 x dx = 1 − 4 ln .
1 5
1 1 1
Z Z
b) Demonstrat , i c˘a f n+2 (x)dx + 4 f n (x)dx = .
0 0 n + 1
c) S˘a se determine a > 1 astfel ˆıncˆat aria suprafet , ei plane delimitate de graficul funct , iei
f 1 , axa Ox s , i dreptele de ecuat , ii x = 1 s , i x = a s˘a fie egal˘a cu ln 2.
5
Lect. univ. dr., Universitatea din Pites , ti, alinastanescu2000@yahoo.com