Page 89 - MATINF Nr. 1

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU EXAMENE 89

Testul 4

Gheorghe Nistor 4

SUBIECTUL I

1. Fie (a n ) n≥1 o progresie aritmetic˘a. S , tiind c˘a a 3 = 10 s , i a 5 = 16, s˘a se calculeze a 100 .
2. Rezolvat , i ˆın R ecuat , ia: (f ◦ f)(x) = 7, unde f : R → R, f(x) = −4x + 3.
3. Rezolvat , i ˆın R inecuat , ia: 2 log x + 1 ≤ 5.
2
4. Aflat , i probabilitatea ca alegˆand o funct , ie f : {1, 2, 3} → {7, 8, 9}, aceasta s˘a fie bijectiv˘a.
5. S˘a se determine ecuat , ia dreptei care trece prin A(0, 3) s , i e perpendicular˘a pe dreapta
determinat˘a de punctele B(0, 2) s , i C(−1, 4).
6. S˘a se afle raza cercului circumscris triunghiului ABC cu lungimile laturilor AB = 7,
BC = 8 s , i AC = 9.

SUBIECTUL al II-lea
 Ü ê
 mx + y + 2z = 4 m 1 2


1. Se consider˘a sistemul de ecuat , ii 2x + my + z = 3 s , i matricea A(m) = 2 m 1 ,


x + 2y + mz = 1 1 2 m

unde m este un num˘ar real.
a) Calculat , i det A(0).
b) S˘a se afle m ∈ R pentru care matricea A(m) nu este inversabil˘a.
c) Rezolvat , i sistemul pentru m = 1.
4
2
3
2. Se consider˘a polinomul f = X − X + mX + 2X + n unde m, n ∈ R.
2
a) S˘a se determine m, n ∈ R astfel ˆıncˆat f s˘a fie divizibil cu g = X − 3X + 2.
b) S˘a se determine m, n ∈ R astfel ˆıncˆat x 1 = 1 + i s˘a fie r˘ad˘acin˘a pentru f.
c) Pentru m = n = 0 s˘a se descompun˘a polinomul f ˆın produs de factori ireductibili ˆın
R[X].

SUBIECTUL al III-lea
2
x + x + 1
1. Fie f : R \ {1} → R, f(x) = .
x − 1
f(x) − f(3)
a) Calculat , i lim .
x→3 x − 3
b) Determinat , i ecuat , ia asimptotei oblice spre +∞ la graficul funct , iei f.
c) Determinat , i intervalele de monotonie ale funct , iei f.
2. Fie f : (0, ∞) → R, f(x) = (x + 1) ln x.
3
a) S˘a se determine o primitiv˘a F a lui f pentru care F(1) = .
4
Z 3 ln x
b) Calculat , i dx.
2 xf(x)
c) Determinat , i volumul corpului obt , inut prin rotat , iaˆın jurul axei Ox a graficului funct , iei
f(x)
g : [1, e] → R, g(x) = .
x + 1

4
Lect. univ. dr., Universitatea din Pites , ti, ghe.nistor@yahoo.com