Page 88 - MATINF Nr. 1

˘
88 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU EXAMENE

Testul 3

Mihai Florea Dumitrescu 3

SUBIECTUL I

1. Aflat , i suma elementelor mult , imii A = {x ∈ [−1; 1] | [x] · x = 1}, unde [x] reprezintˇa partea
ˆıntreagˇa a numˇarului real x.
2
2
2. Se consider˜a funct , iile f : R → R, f(x) = x − 2x + 1 s , i g : R → R, g(x) = −x + 4x − 4.
Aflat , i distant , a dintre vˆarfurile parabolelor asociate celor douˇa funct , ii.
3. Rezolvat , i ˆın mult , imea numerelor reale inecuat , ia 9 log x ≤ 2 · 3 log x − 1 .
3
3
4. Cˆate numere pare de trei cifre se pot forma cu cifrele 0, 1, 2, 3 ?
ˆ
5. In reperul cartezian xOy se consider˜a punctele A(3, −5) s , i B(−3, 1). Determinat , i lungimea
−→ −−→
vectorului AO + OB.
2
2
2
2
6. Se considerˇa expresia E (x) = sin 2x + cos 3x + tg 4x + ctg 6x, x ∈ R. Calculat , i E Ä π ä .
12
SUBIECTUL al II-lea
Ü ê
x

1. Se considerˇa matricele A (x, y) = 1 , B (x, y) = 1 y x , unde x s , i y sunt
y
numere reale.

a) Arˇatat , i cˇa det [A (x, y) · B (x, y)] = 0 pentru orice numere reale x s , i y.
b) Rezolvat , i ˆın mult , imea numerelor reale ecuat , ia det [A (x, x) · B (x, x) + xI 3 ] = 4x.
c) Rezolvat , i ˆın Z × Z ecuat , ia det [B (x, y) · A (x, y)] = 1.
2. Pe mult , imea numerelor reale se defines , te legea de compozit , ie asociativˇa x∗y = xy−x−y+2.

a) Arˇatat , i cˇa x ∗ y = (x − 1) (y − 1) + 1 pentru orice numere reale x s , i y.
2
1
b) Aflat , i numˇarul n ∈ N care verificˇa egalitatea C ∗ C = 1.
n n
c) Calculat , i 2 ∗ 3 ∗ 4 ∗ ... ∗ 2018.
SUBIECTUL al III-lea

1. Se consider˜a funct , ia f : R → R, f (x) = x + cos x.

a) Calculat , i lim f (x).
x→+∞
b) Determinat , i ecuat , ia tangentei la graficul funct , iei f ˆın punctul de abscisˇa x = 0, situat
pe graficul funct , iei f.
c) Ar˜atat , i c˜a 2 cos 1 ≤ π − 2.
√
2
2. Se consider˜a funct , ia f : R → R, f (x) = x + 1.
1 √
Z 4
2
a) Ar˜atat , i c˜a x + 1 · f (x) dx = .
0 3
2
Z
b) Calculat , i f(x) dx.
1
c) Aflat , i volumul corpului obt , inut prin rotat , ia ˆın jurul axei Ox a graficului funct , iei
g : [1, 2] → R, g (x) = x .
f(x)
3
Profesor, Liceul ,,S , tefan Diaconescu”, Potcoava, florin14mihai@yahoo.com