Page 87 - MATINF Nr. 1

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU EXAMENE 87

Testul 2

Raluca Mihaela Georgescu 2

SUBIECTUL I

2
1. S˘a se determine x ∈ R astfel ˆıncˆat 2, x + 3x s , i 8 sunt termeni consecutivi ai unei progresii
geometrice.
x
2. S˘a se determine inversa funct , iei bijective f : R → (4, ∞), f(x) = 2 + 4.
√
3. Rezolvat , i ˆın mult , imea numerelor reale ecuat , ia 5x − 6 − x = 0.
4. Cˆate numere naturale de 4 cifre distincte se pot forma cu elemente din A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.
−→ −→ −−→
5. Fie punctele A(2, 3), B(−1, 1) s , i C(0, −2). Aflat , i lungimea vectorului AB + AC + BC.
π 5
Å ã
6. Fie x ∈ 0, s , i sin x = . S˘a se calculeze tg 2x.
2 13
SUBIECTUL al II-lea
Ü ê
1 a 2
1. Se consider˘a matricea A(a) = 1 1 2a , unde a este num˘ar real.

1 2 a
a) Calculat , i det A(0).
b) S˘a se afle a ∈ R astfel ˆıncˆat A(a) s˘a fie inversabil˘a.
Ü ê
−2
c) S˘a se determine X ∈ M 3,1 (R) astfel ˆıncˆat A(3) · X = 0 .
−1
4x + 4y
2. Pe mult , imea G = (−2, 2) se defines , te legea de compozit , ie x ◦ y = . Fie f : G → R,
4 + xy
2 + x
f(x) = log .
5
2 − x
a) Demonstrat , i c˘a legea ,,◦” este asociativ˘a.
b) Demonstrat , i c˘a f(x ◦ y) = f(x) + f(y), ∀x, y ∈ G.
c) S˘a se determine simetricul lui 1 ∈ G fat , ˘a de legea ,,◦”.

SUBIECTUL al III-lea
1 + ln x
1. Fie f : (0, ∞) → R, f(x) = .
x
a) Determinat , i ecuat , ia tangentei la graficul funct , iei f ˆın punctul de abscis˘a x = e, situat
pe graficul funct , iei f.
b) Demonstrat , i c˘a ln x ≤ x − 1, oricare ar fi x ∈ (0, ∞).
c) Determinat , i intervalele de convexitate s , i concavitate ale funct , iei f.
−x
2. Fie f : R → R, f(x) = (x + 2) · e .
1
Z
x
a) Ar˘atat , i c˘a e · f(x)dx = 4.
−1
Z 1
00
b) Calculat , i f (x)dx.
0
c) S˘a se determine num˘arul real a > 1 astfel ˆıncˆat aria suprafet , ei plane delimitate de
graficul funct , iei g : (0, ∞) → R, g(x) = f(ln x), axa Ox s , i dreptele de ecuat , ii x = 1
5
s , i x = a s˘a fie egal˘a cu .
2
2
Lect. univ. dr., Universitatea din Pites , ti, gemiral@yahoo.com