Page 63 - MATINF Nr. 6

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU EXAMENE 63

§ 1
mx + , pentru x ∈ [0, 1]
9. Consider˘am funct¸ia f : [0, 2] → R, f(x) = x 2 2 ¸si fie S =
2 + n, pentru x ∈ (1, 2]
{(m, n)/m, n ∈ R} mult¸imea valorilor parametrilor pentru care funct¸ia verific˘a condit¸iile
teoremei lui Lagrange ¸si C = {c/c ∈ [0, 2]} mult¸imea valorilor punctelor c care se obt¸in
aplicˆand teorema. Atunci:
9
1
1
a) S = (−1, 0) ¸si C = {5}; b) S = (−1, −1) ¸si C = { }; c) S = (− , −3) ¸si C = { };
4 2 4
5
d)S = (1, 1) ¸si C = { }; e) S = (1, 3) ¸si C = {9};
4
π
10. Calculat¸i expresia sin 3x − cos 3x , ∀x ∈ (0, ):
sin x cos x 2
a) 2; b) 4; c) 0; d) 1; e) -1;
11. Solut¸ia ecuat¸iei (x + 1) + (x + 4) + (x + 7) + ... + (x + 28) = 155 este:
a) x = 1 ; b) x = −1; c) x = 27; d) x = 100; e) x = 55;
√
5
1
12. Ecuat¸ia 2 sin x+ 2 + 2 sin x+ 2 = 5 2 are mult¸imea solut¸iilor dat˘a de:
π
π
a) S = {kπ/k ∈ Z} ; b) S = {2kπ + /k ∈ Z}; c) S = {− + kπ/k ∈ Z}; d) S = Ø;
2 6
π
e) S = {(2k + 1) /k ∈ Z}
8
n
1
2
13. Pentru binomul (x − √ ) suma coeficient¸ilor binomiali este 512. Mult¸imea S a solut¸iilor
3
x
ecuat¸iei 1 2 · T 7 + x · T 10 = 2 este:
84x
a) S = {−1, 1}; b) S = Ø; c) S = {2}; d) S = {1}; e) S = {6, 8};
√
14. Fie f : (−1, ∞) → R, f(x) = x+1 + √ k , k > 0. Atunci volumul V al corpului de rotat¸ie
k x+1
m˘arginit de graficul funct¸iei f, axa OX, axa OY ¸si dreapta x = 1 este:
2 + k ln 2); b) V = π ·
a) V = π( 3+4k 2 2 3+4k 2 2
2 ; c) V = πk ln 2; d) V = π(1 + ln 2); e)
2k 2k
V = π(1 − ln 2);
15. S¸irul (a n ) n∈N este convergent c˘atre un num˘ar real a dac˘a ¸si numai dac˘a este ˆındeplinit˘a
∗
condit¸ia:
a) Pentru orice ε > 0 exist˘a un num˘ar natural N() astfel ˆıncˆat |a n − a| > , ∀n ≥ N();
∗
b) Exist˘a ε > 0 astfel ˆıncˆat pentru orice m ∈ N , |a n − a| < ε, ∀n ≥ m;
c) Exist˘a un num˘ar natural m astfel ˆıncˆat pentru orice num˘ar real M > 0 ¸si pentru orice
n > m rezult˘a |a n | ≥ M;
d) Pentru orice ε > 0 exist˘a un num˘ar natural N(ε) astfel ˆıncˆat |a n − a| < ε, ∀n ≥ N(ε);
e) Exist˘a o vecin˘atate a punctului a notat˘a V a , care las˘a ˆın afara sa o infinitate de termeni
ai ¸sirului dat.

TESTUL 2

Marius Macarie 2

x
1. Dac˘a g este inversa funct¸iei bijective f : R → (2, ∞), f(x) = 5 + 2, atunci g(7) este egal cu:
a) 2; b) 1; c) -1; d) 0; e) 3.

2
2. Dac˘a A = {a ∈ N | (a − 2)X − aX − 3a < 0, ∀x ∈ R}, atunci:
a) A = {0, 1, 2}; b) A = {0, 1}; c)A = (0, 24 ); d) A = {1}; e) A = {0, 1, 3}.
13
2
Lect. univ. dr., Universitatea din Pites , ti, macariem@yahoo.com