Page 19 - MATINF Nr. 6

Interpretarea formulelor logice 19

Definit , ia 2. Pentru h o funct ,ie de adev˘ar se defines , te funct , ia

I (h) : FORM → {T, F}

astfel ˆıncˆat s˘a fie ˆındeplinite urm˜atoarele cerint ,e:

1. pentru orice α ∈ V, I (h) (α) = h (α);
2. pentru orice α, β ∈ FORM,

(a) I (h) ((¬α)) = ¬I (h) (α);
(b) I (h) ((α ∧ β)) = I (h) (α) ∧ I (h) (β);
(c) I (h) ((α ∨ β)) = I (h) (α) ∨ I (h) (β);
(d) I (h) ((α → β)) = I (h) (α) → I (h) (β);
(e) I (h) ((α ↔ β)) = I (h) (α) ↔ I (h) (β).

Lema 1 (Reguli de interpretare a formulelor logice). Pentru stabilirea rezultatelor funct , iei
de interpretare se pot utiliza o serie de reguli de exprimare ˆın form˘a echivalent˘a a formulelor
logice ˆın funct , ie de s , ablonul pe care se ˆıncadreaz˘a o anumit˘a formul˘a logic˘a (pentru orice trei
α, β, γ ∈ FORM):

1. (α ∨ ¬α) ≡ T, (α ∨ T) ≡ T, (α ∨ F) ≡ α, (α ∧ ¬α) ≡ F, (α ∧ F) ≡ F, (α ∧ T) ≡
α, (α ∨ α) ≡ α, (α ∧ α) ≡ α;
2. (¬ (¬α)) ≡ α;
3. (α → β) ≡ ((¬α) ∨ β) , (α ↔ β) ≡ ((α → β) ∧ (β → α)) ;
4. (¬ (α ∧ β)) ≡ ((¬α) ∨ (¬β)) , (¬ (α ∨ β)) ≡ ((¬α) ∧ (¬β)) ;
5. (α ∧ (β ∨ γ)) ≡ ((α ∧ β) ∨ (α ∧ γ)) , (α ∨ (β ∧ γ)) ≡ ((α ∨ β) ∧ (α ∨ γ)) ;
6. (α ∨ β) ≡ ((¬α) → β) , (α ∧ β) ≡ (¬ (α → (¬β))) .

Exemple de aplicare pentru funct , ia de interpretare

Pentru aplicarea regulilor de interpretare se consider˘a cazul evalu˘arii axiomelor definite la
nivelul la nivelul propozit , iilor logice din limbajul de calcul cu propozit , ii logice elementare din
mult , imea de axiome: AXIOM = {α 1 , α 2 , . . . , α 9 }, cu α, β, γ ∈ FORM.

1. Interpretarea pentru axioma α 1 :

I (α 1 σ) = I ((α → (β → α))) = I (α) → (I (β) → I (α)) =
= ¬I (α) ∨ ¬I (β) ∨ I (α) = T.

2. Interpretarea pentru axioma α 2 :

I (α 2 σ) = I (((α → (α → β)) → (α → β))) =
= ¬I ((α → (α → β))) ∨ I (α → β) =
= ¬ (¬I (α) ∨ ¬I (α) ∨ I (β)) ∨ (¬I (α) ∨ I (β)) =
= ¬ (¬I (α) ∨ I (β)) ∨ (¬I (α) ∨ I (β)) =
= (I (α) ∧ ¬I (β)) ∨ (¬I (α) ∨ I (β)) =
= (I (α) ∨ ¬I (α) ∨ I (β)) ∧ (¬I (β) ∨ ¬I (α) ∨ I (β)) = T.