Page 23 - MATINF Nr. 6

Interpretarea formulelor logice 23

2.2 Interpretarea formulelor logice de tip termeni si atomi din limbajul
,
logic extins

Interpretarea formulelor logice de tip termeni s , i atomi din limbajul logic extins presupune
definirea unei semantici prin care se acord˘a fiec˘arui simbol non-logic o anumit˘a semnificat¸ie.
Astfel, semnificat¸ia fiec˘arui functor este aceea de funct¸ie cu un num˘ar de argumente egal cu
aritatea functorului, semnificat¸ia fiec˘arui simbol predicat¸ional este aceea de predicat care exprim˘a
o relat¸ieˆıntre un num˘ar de obiecte egal cu aritatea simbolului predicat , ional, respectiv semnificat¸ia
fiec˘arei constante este aceea de element particular din domeniul suport. Semnificat¸iile acordate
simbolurilor non-logice induc semnificat¸ii pentru structurile din mult¸imile TERM ¸si ATOM s , i
anume: de expresie funct¸ional˘a pentru structurile simbolice de tipul termen, respectiv, de relat¸ii
ˆıntre expresiile funct¸ionale pentru predicatele din mult , imea de atomi.

Definit , ia 6. Fie L limbajul extins stabilit anterior. Perechea (D, I) se nume¸ste L-structur˘a,
unde D este o mult¸ime nevid˘a numit˘a domeniu de interpretare ¸si I = (I CS , I FS , I PS ), unde

* I CS : CS → D,
∞
S n r(f)
* I FS : FS → [D → D] , astfel ˆıncˆat pentru orice f ∈ FS, I FS (f) : D → D,
n=1
∞
n
* I PS : PS → S [D → D] ∪ {T, F} , astfel ˆıncˆat pentru orice π ∈ PS, I PS (π) : D r(π) →
n=1
{T, F} dac˘a r (π) ≥ 1, respectiv I PS (π) ∈ {T, F} , dac˘a r (π) = 0.

Notat , ia [A → B] desemneaz˘a mult¸imea funct¸iilor definite pe mult¸imea A cu valori ˆın mult¸imea
∆ ∆ ∆
I
I
I
B. De asemenea, convent , ional se noteaz˘a prin I CS (a) = a , I FS (f) = f , I PS (π) = π ; unde
I
I
I
a , f , π sunt interpret˘arile constantei a, a simbolului functorial f, respectiv, a simbolului
predicat¸ional π ˆın L-structura M = (D, I) .
Fie M = (D, I) o L-structur˘a. Semnificat¸ia interpret˘arii fiec˘arui termen t ∈ TERM, notat˘a
I
t , este aceea de rezultat al evalu˘arii structurii termenului t conform regulilor de calcul asociate
de L-structura M simbolurilor functoriale cu aparit , ii ˆın structura simbolic˘a t ¸si a interpret˘arilor
considerate pentru simbolurile din mult¸imea de constante CS.
Pentru interpretarea variabilelor din limbajul extins ˆın domeniul de interpretare se utilizeaz˘a
o funct , ie de asociere (valuat¸ie) de forma s : V → D.

Definit , ia 7. Fie s ∈ [V → D] , x ∈ V, a ∈ D.

Se noteaz˘a cu s [x := a] ∈ [V → D] asocierea definit˘a prin

§
s (y) , dac˘a y 6= x
y ∈ V, s [x := a] (y) =
a, dac˘a y = x

I
Definit , ia 8. Interpretarea pentru un termen t I (t ∈ [[V → D] → D]) se defines , te pe baza
L-structurii M = (D, I) s , i a funct , iei de valuat , ie s ∈ [V → D] , prin:

 I
t , dac˘a t ∈ CS

I
t (s) = s (t) , dac˘a t ∈ V
€ Š
f t (s) , ..., t r(f) (s) , dac˘a t = ft 1 ...t r(f)
 I I I
1