Page 14 - MATINF Nr. 6

14 L.M. Giugiuc

2
Cum n ≥ 4 atunci discriminant , ii p˘atraticelor (n − 2) (n − 3) x − 2 (n − 2) x + 2 s , i 3 (n − 1)
2
(n − 2) x −4 (n − 1) x+2 nu sunt pozitivi, deci ultima inegalitate este adev˘arat˘a. Demonstrat , ia
Teoremei 1 este complet˘a.

Teorema 2. (extinderea MGO 115) Fie n ≥ 3 s , i fie numerele reale nenegative a 1 , . . . , a n , astfel
n n
P 2 P P
ˆıncˆat a = 2. Atunci a i − a i a j a k ≤ 2.
i
i=1 i=1 1≤i<j<k≤n
n
P P P
Demonstrat¸ie. Conform Teoremei 1, a i + 3 a i a j a k − 2 a i a j ≥ 0. Pentru a
i=1 1≤i<j<k≤n 1≤i<j≤n
demonstra Teorema 2, este suficient s˘a ar˘at c˘a

n n
X X X X X
6 + 3 a i a j a k − 3 a i ≥ a i + 3 a i a j a k − 2 a i a j . (3)
1≤i<j<k≤n i=1 i=1 1≤i<j<k≤n 1≤i<j≤n
n n n
 ‹ 2  ‹ 2
P P P
este echivalent˘a cu a i −4 a i +4 ≥ 0 ⇔ a i − 2 ≥ 0, ceea ce este evident adev˘arat.
i=1 i=1 i=1
Demonstrat , ia Teoremei 2 este complet˘a.

Bibliografie

[1] http://rmgo.upit.ro/RMGO3/index.html#p=27

[2] http://rmgo.upit.ro/RMGO4/index.html#p=24

[3] https://www.emis.de/journals/JIPAM/images/059_06_JIPAM/059_06.pdf