Page 24 - MATINF Nr. 6

24 D. Constantin

Exemple privind interpretarea termenilor s , i a atomilor ˆın limbajul aritmeticii Se consider˘a
ˆ
M = (D, I) interpretarea intent¸ionat˘a pentru limbajul aritmeticii. In aceast˘a L-structur˘a
domeniul de interpretare este mult¸imea numerelor naturale N, interpretarea simbolului cons-
tant˘a 0 este num˘arul natural 0, regulile de calcul asociate simbolurilor functoriale +, ∗ fiind suma
¸si, respectiv, produsul numerelor naturale utilizate ca argumente. Interpretarea functorului
succesor este funct¸ia care calculeaz˘a succesorul argumentului ˆın mult¸imea numerelor naturale
N.

Interpret˘arile simbolurilor functoriale sunt:
D = N , I cs (0) = 0,

I
I
I FS (+) = + : N × N → N, pentru orice n, m ∈ N, + (n, m) = n + m
I
I
I FS (∗) = ∗ : N × N → N, pentru orice n, m ∈ N, ∗ (n, m) = n · m
I
I
I FS (S) = S : N → N, pentru orice n ∈ N, S (n) = n + 1
Interpret˘arile simbolurilor predicat¸ionale sunt:
I
I PS (<) =< : N × N → {T, F} , pentru orice n, m ∈ N,
§ T, dac˘a n < m
I
< (n, m) =
F, dac˘a n ≥ m
I
I PS ($) == : N × N → {T, F} , pentru orice n, m ∈ N,
§ T, dac˘a n = m
I
= (n, m) =
F, dac˘a n 6= m
Observat¸ie: Definit¸iile interpret˘arilor simbolurilor predicat¸ionale pot fi exprimate prin

< I (n, m) = if n < m then T else F
= I (n, m) = if n = m then T else F.

1. Interpretarea termenului t = ∗ + ∗SySSzSSx + xSS0, cu x, y, z ∈ V ¸si s ∈ [V → N].

Deoarece t = ∗+ ∗ SySSzSSx+xSS0, avem interpretarea pentru termenul t:
}| {z }
| {z
t 1 t 2
I
I
I

I
I
t (s) = ∗ I t (s) , t (s) = t (s) · t (s) .
1 2 1 2
Deoarece, t 1 = +∗SySSzSSx ¸si t 2 = + x SS0, rezult˘a:
|{z} |{z}|{z}
| {z }
t 12 t 21 t 22
t 11
I
I
I
I
I

t (s) = + I t (s) , t (s) = t (s) + t (s) ,
1
12
12
11
11
I
I

I
I
I
t (s) = + I t (s) , t (s) = t (s) + t (s) =
2 21 22 21 22
I

= s (x) + S I S I 0 I = s (x) + S I S (0) =
I
= s (x) + S (0 + 1) = s (x) + 0 + 1 + 1 = s (x) + 2
Iterˆand, obt¸inem ˆın continuare rezultatele urm˘atoare:
€ Š
I
I
I
I
I
t (s) = ∗ I (Sy) (s) , (SSz) (s) = S (s (y)) · S I S (s (z)) =
11
= (s (y) + 1) · (s (z) + 1 + 1) = (s (y) + 1) · (s (z) + 2)
I
I
I

t (s) = (SSx) (s) = S I S (s (x)) = (s (x) + 2)
12