Page 13 - REVISTA MATINF Nr. 5

O metod˘a pentru a demonstra unele inegalit˘at , i 13

Dup˘a calcule obis , nuite, obt , inem c˘a

a + b + c abc
2 2 2
2 2 2
+ ≤ 2 ⇔ 2a+2b+2c+abc+a b c ≤ 4+4abc ⇔ a b c −3abc+2a+2b+2c−4 ≤ 0.
1 + abc 2
Consider˘am membrul stˆang ca o funct , ie de gradul al II-lea ˆın c, de forma
2 2 2
f (a,b) : [0, 1] → R, f (a,b) (c) = a b c − c · (3ab − 2) + 2a + 2b − 4.

2 2
Calculˆand, obt , inem f (a,b) (0) = 2a + 2b − 4 ≤ 0 s , i f (a,b) (1) = a b − 3ab + 2a + 2b − 2. S˘a
consider˘am
2 2
g b : [0, 1] → R, g b (t) = b t + (2 − 3b) t + 2b − 2.

2
G˘asim g b (0) = 2b − 2 ≤ 0 s , i g b (1) = b − b ≤ 0. Pentru b > 0 deducem c˘a (0, 1) este un
interval pe care funct , ia de gradul al doilea g b p˘astreaz˘a semnul minus, afirmat , ie valabil˘a s , i
pentru b = 0, as , adar

2 2
a b − 3ab + 2a + 2b − 2 ≤ 0, (∀) a, b ∈ [0, 1] .

2 2 2
Am obt , inut c˘a f (a,b) (1) ≤ 0, deci a b c − 3abc + 2a + 2b + 2c − 4 ≤ 0, (∀) a, b, c ∈ [0, 1],
stabilind c˘a, ˆıntr-adev˘ar,

a b c abc
+ + + ≤ 2.
1 + bc 1 + ca 1 + ab 2

Ca o ultim˘a aplicat , ie a metodei, avem s , i problema urm˘atoare.

AMS 11306. Propus˘a de Alexandru Ros , oiu, Universitatea din Bucures , ti, Romˆania.
a + b + c
Fie a, b s , i c lungimile laturilor unui triunghi nedegenerat ABC, p = , r s , i R razele
2
cercurilor ˆınscris, respectiv circumscris triunghiului. Ar˘atat ,i c˘a

c 4r − R È c
· ≤ (p − a) · (p − b) ≤ . (∗)
2 R 2

not not not
S˘aˆıncepem introducˆand unele notat , ii. Fie p−a = x, p−b = y, p−c = z. Evident, x, y, z > 0.
S
r p 4S 2 4p (p − a) (p − b) (p − c) 4xyz
Cu aceste notat , ii, avem = = = = .
R abc pabc pabc (x + y) (y + z) (z + x)
4S
Inegalitatea (*) este echivalent˘a cu:

 ‹
x + y xyz √ AM−GM x + y
· 16 · − 1 ≤ xy ≤ .
2 (x + y) (y + z) (z + x) 2
x + y  xyz ‹ √
Vom proba inegalitatea · 16 · − 1 ≤ xy considerˆand funct , ia
2 (x + y) (y + z) (z + x)
z x + y √
∗
f : R → R, f (z) = 8xy · − − xy. Avem
+
(z + x) (z + y) 2
1 · (x + z) · (y + z) − z (2z + x + y)
0
f (z) = 8xy ·
2
(x + z) · (y + z) 2