Page 14 - REVISTA MATINF Nr. 5
P. 14

14                                                                                     D. V˘acaru



                                                    2
                                                                      2
                                              xy + z + z (x + y) − 2z − z (x + y)
                                      = 8xy ·
                                                        [(x + z) (y + z)] 2
                                                   2
                                                −z + xy
                                    = 8xy ·                   , (∀) z > 0, (∀) x, y > 0.
                                            [(x + z) (y + z)] 2
                Cu tabelul de monotonie, utilizˆand semnul funct , iei de gradul al doilea, deducem c˘a f are un
                       √                       √
            maxim ˆın    xy. Calcularea lui f    xy ne conduce c˘atre

                                         √                                                √     √   2
                      √              8xy xy             x + y    √           8xy            x +   y
                   f ( xy) =        √         √     −       −    xy =   √     √   −               .
                                x +   xy   y +   xy       2                 x +   y  2        2

                                                               √     √   2
                                                  8xy            x +   y                    √     √   4
                Observ˘am, ˆıns˘a, echivalent , a  √  √   −               ≤ 0 ⇔ 16xy ≤       x +   y , care
                                                         2
                                                 x +   y           2
                                                              √
            este inegalitatea mediilor. Rezult˘a c˘a f(z) ≤ f   xy ≤ 0, ceea ce ˆıncheie demonstrat , ia.
                Dac˘a triunghiul este echilateral inegalit˘at , ile devin egalit˘at , i, iar ˆın cazul triunghiurilor isoscele
            cu a = b doar inegalitatea din dreapta devine egalitate.
   9   10   11   12   13   14   15   16   17   18   19