Page 14 - REVISTA MATINF Nr. 5
P. 14
14 D. V˘acaru
2
2
xy + z + z (x + y) − 2z − z (x + y)
= 8xy ·
[(x + z) (y + z)] 2
2
−z + xy
= 8xy · , (∀) z > 0, (∀) x, y > 0.
[(x + z) (y + z)] 2
Cu tabelul de monotonie, utilizˆand semnul funct , iei de gradul al doilea, deducem c˘a f are un
√ √
maxim ˆın xy. Calcularea lui f xy ne conduce c˘atre
√ √ √ 2
√ 8xy xy x + y √ 8xy x + y
f ( xy) = √ √ − − xy = √ √ − .
x + xy y + xy 2 x + y 2 2
√ √ 2
8xy x + y √ √ 4
Observ˘am, ˆıns˘a, echivalent , a √ √ − ≤ 0 ⇔ 16xy ≤ x + y , care
2
x + y 2
√
este inegalitatea mediilor. Rezult˘a c˘a f(z) ≤ f xy ≤ 0, ceea ce ˆıncheie demonstrat , ia.
Dac˘a triunghiul este echilateral inegalit˘at , ile devin egalit˘at , i, iar ˆın cazul triunghiurilor isoscele
cu a = b doar inegalitatea din dreapta devine egalitate.
