Page 9 - REVISTA MATINF Nr. 5

O inegalitate pentru funct¸ii convexe/concave 9

Corolarul 2. ([4]) Pentru a, b, c ≥ 0, avem:

√
È È È
4 3 4 3 4 3 4
a · (b+c) + b · (c+a) + c · (a+b) ≤ 8 · (a+b+c) . (5)
3
Demonstrat¸ie. Se aplic˘a inegalitatea (C) pentru funct , ia f : (0, ∞) → R, f(x) = x 4 care este
funct , ie strict concav˘a. Egalitatea are loc dac˘a

b+c c+a a+b
= = ⇔a=b=c.
a b c

Corolarul 3. ([5]) Dac˘a a 1 , a 2 , . . . , a n > 0 s , i a 1 + a 2 + . . . + a n = S, atunci

É É É
a 1 a 2 a n S
a 1 · + a 2 · + . . . + a n · ≥ √ (6)
S − a 1 S − a 2 S − a n n − 1
1 1
Demonstrat¸ie. Consider˘am funct , ia f : (0, ∞) → R, f(x) = √ = x − 2 , care este funct , ie strict
x
convex˘a pe 0, ∞), pentru care se aplic˘a inegalitatea (C).

Propozit , ia 2. ([6]) Dac˘a a 1 , a 2 , . . . , a n > 0 s , i a 1 + a 2 + . . . + a n = S, atunci

(S − a 1 )(S − 2a 1 ) (S − a 2 )(S − 2a 2 ) (S − a n )(S − 2a n )
+ + . . . + ≥ n(n − 1)(n − 2). (7)
a 2 1 a 2 2 a 2
n

3
00
Demonstrat¸ie. Fie funct , ia f : [0, ∞) → R, f(x) = x − x, pentru care avem f (x) = 6x ≥ 0,
deci funct , ia f este convex˘a pe intervalul [0, ∞).
Atunci, aplicˆand inegalitatea (C), avem succesiv:

n  ‹
X S − a k
a k f ≥ f(n − 1) · S
a k
k=1
n –  ‹ 2 ™
X
S − a k S − a k 2
⇔ a k · − 1 ≥ (n − 1) (n − 1) − 1 · S
a k a k
k=1
n 2
X S − 2Sa k
2
⇔ (S − a k ) ≥ (n − 1)[(n − 1) − 1] · S
a 2
k=1 k
n
X S − 2a k
⇔ S (S − a k ) ≥ n(n − 1)(n − 2) · S
a 2
k=1 k
n
X (S − a k )(S − 2a k )
⇔ ≥ n(n − 1)(n − 2).
a 2
k=1 k
Egalitatea are loc dac˘a s , i numai dac˘a a 1 = a 2 = . . . = a n .
Propozit , ia 3. Dac˘a a 1 , a 2 , . . . , a n > 0 s , i a 1 + a 2 + . . . + a n = S, atunci
√
È È È
2
2
2
2
2
2
2
(S − a 1 ) + a + (S − a 2 ) + a + . . . + (S − a n ) + a ≥ n − 2n + 2 · S. (8)
2
1
n