Page 9 - REVISTA MATINF Nr. 5
P. 9

O inegalitate pentru funct¸ii convexe/concave                                                   9



            Corolarul 2. ([4]) Pentru a, b, c ≥ 0, avem:

                                                                          √
                                È             È             È
                                 4         3   4         3   4         3   4
                                   a · (b+c) +   b · (c+a) +   c · (a+b) ≤ 8 · (a+b+c) .                  (5)
                                                                                                  3
            Demonstrat¸ie. Se aplic˘a inegalitatea (C) pentru funct , ia f : (0, ∞) → R, f(x) = x 4 care este
            funct , ie strict concav˘a. Egalitatea are loc dac˘a

                                               b+c c+a a+b
                                                   =      =     ⇔a=b=c.
                                                 a     b     c



            Corolarul 3. ([5]) Dac˘a a 1 , a 2 , . . . , a n > 0 s , i a 1 + a 2 + . . . + a n = S, atunci


                                 É               É                     É
                                      a 1             a 2                   a n        S
                             a 1 ·         + a 2 ·         + . . . + a n ·        ≥ √                     (6)
                                   S − a 1          S − a 2               S − a n     n − 1
                                                                           1       1
            Demonstrat¸ie. Consider˘am funct , ia f : (0, ∞) → R, f(x) = √ = x    − 2 , care este funct , ie strict
                                                                            x
            convex˘a pe 0, ∞), pentru care se aplic˘a inegalitatea (C).

            Propozit , ia 2. ([6]) Dac˘a a 1 , a 2 , . . . , a n > 0 s , i a 1 + a 2 + . . . + a n = S, atunci

               (S − a 1 )(S − 2a 1 )  (S − a 2 )(S − 2a 2 )     (S − a n )(S − 2a n )
                                  +                     + . . . +                   ≥ n(n − 1)(n − 2).    (7)
                       a 2 1                 a 2 2                      a 2
                                                                         n

                                                                  3
                                                                                              00
            Demonstrat¸ie. Fie funct , ia f : [0, ∞) → R, f(x) = x − x, pentru care avem f (x) = 6x ≥ 0,
            deci funct , ia f este convex˘a pe intervalul [0, ∞).
                Atunci, aplicˆand inegalitatea (C), avem succesiv:

                                              n              ‹
                                             X         S − a k
                                                 a k f           ≥ f(n − 1) · S
                                                         a k
                                             k=1
                               n             –        ‹ 2    ™
                              X
                                      S − a k   S − a k                             2
                           ⇔      a k ·                   − 1    ≥ (n − 1) (n − 1) − 1 · S
                                        a k        a k
                              k=1
                                         n            2
                                        X            S − 2Sa k
                                                                                    2
                                     ⇔      (S − a k )           ≥ (n − 1)[(n − 1) − 1] · S
                                                         a 2
                                        k=1               k
                                            n
                                           X           S − 2a k
                                      ⇔ S     (S − a k )         ≥ n(n − 1)(n − 2) · S
                                                          a 2
                                           k=1             k
                                          n
                                         X   (S − a k )(S − 2a k )
                                      ⇔                          ≥ n(n − 1)(n − 2).
                                                     a 2
                                         k=1          k
            Egalitatea are loc dac˘a s , i numai dac˘a a 1 = a 2 = . . . = a n .
            Propozit , ia 3. Dac˘a a 1 , a 2 , . . . , a n > 0 s , i a 1 + a 2 + . . . + a n = S, atunci
                                                                                    √
                   È                   È                        È
                                                       2
                                   2
                                                                                2
                                                                                        2
                                                  2
                              2
                                                                           2
                     (S − a 1 ) + a +    (S − a 2 ) + a + . . . +  (S − a n ) + a ≥   n − 2n + 2 · S.     (8)
                                                       2
                                   1
                                                                                n
   4   5   6   7   8   9   10   11   12   13   14