Page 10 - REVISTA MATINF Nr. 5
P. 10
10 D. M˘arghidanu
√
00
2
Demonstrat¸ie. Consider˘am funct , ia f : (0, ∞) → R, f(x) = x + 1, pentru care avem f (x) =
1 √ > 0, deci funct , ia f este strict convex˘a.
2
2
(x +1) x +1
Ê
n n 2
n p
P S − a k P S − a k P 2
2
Cum a k f = + 1 = (S − a k ) + a , s , i f(n − 1) · S =
a k
k
√ k=1 a k k=1 a k k=1
2
n − 2n + 2 · S, cu inegalitatea (C) rezult˘a s , i inegalitatea (8).
Egalitatea are loc dac˘a s , i numai dac˘a a 1 = a 2 = . . . = a n .
Observat ,ia 2. Inegalitatea (8) se poate demonstra s , i cu inegalitatea lui Minkowski.
Propozit , ia 4. Dac˘a a 1 , a 2 , . . . , a n > 0 s , i a 1 + a 2 + . . . + a n = S, atunci
a 3 a 3 2 a 3 n 1 2
1
+ + . . . + ≥ · S . (9)
S − a 1 S − a 2 S − a n (n − 1)n
Demonstrat¸ie. Funct , ia f : (0, ∞) → R, f(x) = 1 este o funct , ie convex˘a.
x(x+1)
n n n
P P 1 1 P a 3 1
Cum a k f S−a k = a k · = · k , iar f(n − 1) · S = · S, cu
a k S−a k S−a k +1 S S−a k (n−1)n
k=1 k=1 a k a k k=1
inegalitatea (C) rezult˘a inegalitatea (9).
Egalitatea are loc dac˘a s , i numai dac˘a a 1 = a 2 = . . . = a n .
Propozit , ia 5. Dac˘a a 1 , a 2 , . . . , a n > 0, b > 0, b 6= 1 s , i a 1 + a 2 + . . . + a n = S, atunci
S S S
n
a 1 · b 1 + a 2 · b 2 + . . . + a n · b n ≥ b · S (10)
a
a
a
x
Demonstrat¸ie. Funct , ia f : (0, ∞) → R, f(x) = b , este funct , ie convex˘a.
n n S−a n S n S
a
P P k P b k 1 P n−1
Cum a k f S−a k = a k · b a k = a k · = · a k · b k , iar f(n − 1) · S = b · S,
a
a k b b
k=1 k=1 k=1 k=1
cu inegalitatea (C) rezult˘a inegalitatea din enunt , .
Egalitatea are loc dac˘a s , i numai dac˘a a 1 = a 2 = . . . = a n .
Propozit , ia 6. Dac˘a a 1 , a 2 , . . . , a n > 0 s , i a 1 + a 2 + . . . + a n = S, atunci
a 1 a 2 a n
S S S
S
− 1 · − 1 · . . . · − 1 ≤ (n − 1) . (11)
a 1 a 2 a n
Demonstrat¸ie. Funct , ia f : (0, ∞) → R, f(x) = ln x este funct , ie concav˘a. Aplicˆand inegalitatea
(C) - pentru funct , ii concave, avem succesiv:
n n
X X
S − a k S − a k
a k f ≤ f(n − 1) · S ⇔ a k ln ≤ S · ln(n − 1)
a k a k
k=1 k=1
n n
X S a k Y S a k
S
⇔ ln − 1 ≤ ln(n − 1) ⇔ ln − 1 ≤ ln(n − 1) S
a k a k
k=1 k=1
n
Y S a k
S
⇔ − 1 ≤ (n − 1) .
a k
k=1
Egalitatea are loc dac˘a s , i numai dac˘a a 1 = a 2 = . . . = a n .
