Page 8 - REVISTA MATINF Nr. 5

8 D. M˘arghidanu

ˆ
Demonstrat¸ie. In (J) lu˘am x k = S − a k s , i ponderile w k = a k , pentru care avem evident:
n
a k P
a k
k=1
n
P
w k > 0, ∀k ∈ {1, 2, . . . , n}, w k = 1. Cu aceste substitut , ii avem:
k=1
n n  ‹ n  ‹
X X a k S − a k 1 X S − a k
w k f(x k ) = · f = a k f , (1)
n
a k a k
P S
k=1 k=1 a j k=1
j=1
† 
! ! !
n n n
n

X X a k S − a k X S − a k X a k
f w k x k = f · = f = f 1 − = f(n−1).
n
a k
P S S
k=1 k=1 a j k=1 k=1
j=1
(2)
Cu (1), (2) ˆın inegalitatea lui Jensen, inegalitatea (C) rezult˘a imediat.
S − a 1 S − a 2 S − a n
Egalitatea are loc dac˘a = = . . . = ⇔ a 1 = a 2 = . . . = a n .
a 1 a 2 a n

Aplicat , ii

Alegˆand ˆın mod potrivit diferite funct , ii convexe / concave ˆın inegalitatea (C), se pot obt , ine
ˆ
numeroase inegalit˘at , i. In cele ce urmeaz˘a vom exemplifica – mai degrab˘a ˆın scop paradigmatic –
prin cˆateva inegalit˘at , i specifice. Evident, pentru rezultatele prezentate pot exista s , i alte tipuri
de demonstrare. Este ceea ce am observat prin propunerea unora dintre ele ˆın diferite grupuri
de matematic˘a, on-line, v. [4]-[7], s , i unde au fost oferite felurite solut , ion˘ari.

Propozit , ia 1. Dac˘a a 1 , a 2 , . . . , a n > 0, p ≥ 1 sau p < 0 s , i a 1 + a 2 + . . . + a n = S, atunci

(S − a 1 ) p (S − a 2 ) p (S − a n ) p
p
+ + . . . + ≥ (n − 1) S. (3)
p−1
a p−1 a p−1 a n
1 2
Dac˘a 0 < p < 1, inegalitatea din (3) este inversat˘a.

p
Demonstrat¸ie. Se consider˘a funct , ia f : (0, ∞) → R, f(x) = x care pentru p ∈ (−∞, 0] ∪ [1, ∞)
este funct , ie convex˘a.

Aplicˆand inegalitatea (C) se obt , ine inegalitatea (3).

Pentru 0 < p < 1, funct , ia f este concav˘a, deci inegalitatea (3) este inversat˘a.

Observat ,ia 1. Inegalitatea (3) se poate demonstra s , i cu inegalitatea lui Radon.

Corolarul 1. Pentru a, b, c > 0, p ≥ 1, avem:

(a+b) p (b+c) p (c+a) p
p
+ + ≥2 · (a+b+c) . (4)
c p−1 a p−1 b p−1