Page 99 - MATINF Nr. 13-14

´
Rezolvarea problemelor date la concursul de admitere la Ecole Polytechnique, filiera MPI, sesiunea 2024 99

⇔ v 1 = v 2 = . . . = v n−1 = v n .

Alegem solut , ia (care va da un versor)

1
v 1 = v 2 = . . . = v n−1 = v n = √
n

s , i obt , inem
t
ß ™
= √ (1, 1, . . . , 1, 1) : t ∈ R .
V λ 1
n
a
al vectorilor proprii pentru λ 2 . Avem c˘ v = (v 1 , v 2 , . . . ,
Determin˘am subspat , iul vectorial V λ 2
a
dac˘ s , i numai dac˘a
v n−1 , v n ) ∈ V λ 2
T
−M 0 v = λ 2 v T
â ì â ì â ì
0 1 · · · 1 1 v 1 v 1
1 0 · · · 1 1 v 2 v 2
. . . . . . .
⇔ . . . . . . . . . . · . . = −1 · . .
1 1 · · · 0 1 v n−1 v n−1
1 1 · · · 1 0 v n v n


0 · v 1 + 1 · v 2 + . . . + 1 · v n−1 + 1 · v n = −1 · v 1



1 · v 1 + 0 · v 2 + . . . + 1 · v n−1 + 1 · v n = −1 · v 2


 .
⇔ . .



 1 · v 1 + 1 · v 2 + . . . + 0 · v n−1 + 1 · v n = −1 · v n−1



1 · v 1 + 1 · v 2 + . . . + 1 · v n−1 + 0 · v n = −1 · v n
⇔ 1 · v 1 + 1 · v 2 + . . . + 1 · v n−1 + 1 · v n = 0
Pentru a determina (n − 1) solut , ii liniar independente ale acestei ecuat , ii vom da valori pentru
1
v 2 , . . . , v n−1 , v n doar una diferit˘a de zero, spre exemplu −√ , pentru a obt , ine un versor s , i-l
2
1
determin˘am pe v 1 = √ . Obt , inem
2
1 1 1
√ (1, −1, 0, . . . , 0, 0) , √ (1, 0, −1, . . . , 0, 0) , . . . , √ (1, 0, 0, . . . , 0, −1) .
2 2 2

Subpat , iul vectorilor proprii pentru λ 2 este

ß ™
t 2 t n
= √ (1, −1, 0, . . . , 0, 0) + . . . + √ (1, 0, 0, . . . , 0, −1) : t 2 , . . . , t n ∈ R .
V λ 2
2 2
ˆ a
In baza vectorial˘a format˘ din vectorii

1 1 1
√ (1, 1, . . . , 1, 1) , √ (1, −1, 0, . . . , 0, 0) , . . . , √ (1, 0, 0, . . . , 0, −1)
n 2 2