Page 96 - MATINF Nr. 13-14

96 M.N. Popescu

Y ν p(n !)
b. Justificat , i faptul c˘ n ! = p s , i deducet , i c˘a
a
p≤n
p prim

ln (p) ln (p) ln (p)
X X X
n − n ln (4) < ln (n !) < n + n .
p p p (p − 1)
p≤n p≤n p≤n
p prim p prim p prim

ln (k)
X
a
c. Justificat , i faptul c˘ seria converge.
k (k − 1)
k≥2
X ln (p)
d. Concluzionat , i c˘a = ln (n) + O (1).
p n→+∞
p≤n
p prim
20. a. Not˘am, pentru orice num˘ar real t ≥ 2,

ln (p)
X
R (t) = − ln (t) .
p
p≤t
p prim

a
Ar˘atat , i, folosind rezultatul cerint , ei 16, c˘
n
Z
X 1 R (n) R (t)
= 1 + ln 2 (n) + + dt.
p ln (n) t(ln (t)) 2
p≤n 2
p prim

R (t)
b. Justificat , i faptul c˘ funct , ia t 7→ este integrabil˘ pe [2, +∞) .
a
a
t(ln (t)) 2
1 Å 1 ã
X
c. Stabilit , i c˘ = ln 2 (n) + c 1 + O , pentru un c 1 real, ce trebuie specificat.
a
p n→+∞ ln (n)
p≤n
p prim
∗
21. a. Fie x un num˘ar real pozitiv mai mare sau egal cu 1 s , i q ∈ N . Justificat , i faptul c˘a
valoarea
x
card {n ∈ N ∩ [1, x] : n ≡ 0 (mod q)} −
q
a
este m˘arginit˘ ˆın modul de un num˘ar real independent de x s , i q.
b. Demonstrat , i, folosind o inversiune a sumelor, c˘a

1 X
ω (n) = ln 2 (x) + O (1) .
x x→+∞
n≤x

22. a. Demonstrat , i c˘a

!
1 X 2 1 X 2 2
(ω (n) − ln 2 (x)) = ω(n) − ln 2 (x) + O (ln 2 (x)) .
x x→+∞ x
n≤x n≤x