Page 100 - MATINF Nr. 13-14

100 M.N. Popescu

matricea −M 0 are foma diagonal˘a

â ì
1 − n 0 · · · 0 0
0 1 · · · 0 0
. . . . . . . . . . . . . . . .

0 0 · · · 1 0
0 0 · · · 0 1

1. b. Printr-un calcul analog ca la punctul 1.a (ˆınlocuim λ cu x) obt , inem

x 1 · · · 1 1

1 x · · · 1 1

. . . . n−1

.
det M x = . . . . . . . . . = (x + n − 1) (x − 1) .
.

1 1 · · · x 1

1 1 · · · 1 x

Pe de alt˘a parte, dac˘a folosim definit , ia determinantului: pentru matricea
A = (a ij )
1≤i,j≤n
determinantul este
X
det A = ε (σ) a 1σ(1) a 2σ(2) . . . a nσ(n) ,
σ∈S n
obt , inem
X
det M x = ε (σ) x ν(σ) .
σ∈S n
Prin urmare
X n−1
ε (σ) x ν(σ) = (x + n − 1) (x − 1) .
σ∈S n
2. Pentru x = 1 relat , ia din punctul 1.b devine

X n−1
ε (σ) 1 ν(σ) = (1 + n − 1) (1 − 1) ,
σ∈S n

deci
X
ε (σ) = 0.
σ∈S n
Deriv˘am relat , ia din punctul 1.b s , i obt , inem

X n−1 n−2
ε (σ) ν (σ) x ν(σ)−1 = (x − 1) + (x + n − 1) (n − 1) (x − 1) ,
σ∈S n

din care, pentru x = 1, obt , inem

ß
X 0, pentru n > 2
ε (σ) ν (σ) = .
2, pentru n = 2
σ∈S n