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98 M.N. Popescu

a
de pe prima coloan˘ scoatem factorul comun n − 1 + λ s , i obt , inem

1 1 · · · 1 1

1 λ · · · 1 1

. . . .
.
(n − 1 + λ) · . . . . . . . . . = 0;
.

1 1 · · · λ 1

1 1 · · · 1 λ

a
sc˘adem prima coloan˘ din celelalte coloane s , i obt , inem

1 0 · · · 0 0

1 λ − 1 · · ·
0 0

. . . . .
(n − 1 + λ) · . . . . . . . . . . = 0;

1 0 · · · λ − 1 0

1 0 · · · 0 λ − 1

determinanul este subdiagonal, deci el este egal cu produsul elementelor de pe diagonala
principal˘a,
(n − 1 + λ) (λ − 1) n−1 = 0.
a
Aceast˘ ecuat , ie ne d˘ valorile proprii:
a
λ 1 = 1 − n de ordin algebric 1,
λ 2 = 1 de ordin algebric n − 1.
a
al vectorilor proprii pentru λ 1 . Avem c˘ v = (v 1 , v 2 , . . . ,
Determin˘am subspat , iul vectorial V λ 1
dac˘ s , i numai dac˘a
a
v n−1 , v n ) ∈ V λ 1
T
−M 0 v = λ 1 v T
â ì â ì â ì
0 1 · · · 1 1 v 1 v 1
1 0 · · · 1 1 v 2 v 2
. . . . . . .
⇔ . . . . . . . . . . · . . = (n − 1) · . .
1 1 · · · 0 1 v n−1 v n−1
1 1 · · · 1 0 v n v n


0 · v 1 + 1 · v 2 + . . . + 1 · v n−1 + 1 · v n = (n − 1) · v 1



1 · v 1 + 0 · v 2 + . . . + 1 · v n−1 + 1 · v n = (n − 1) · v 2


 .
⇔ . .



 1 · v 1 + 1 · v 2 + . . . + 0 · v n−1 + 1 · v n = (n − 1) · v n−1



1 · v 1 + 1 · v 2 + . . . + 1 · v n−1 + 0 · v n = (n − 1) · v n

1 · v 1 + 1 · v 2 + . . . + 1 · v n−1 + 1 · v n = n · v 1




1 · v 1 + 1 · v 2 + . . . + 1 · v n−1 + 1 · v n = n · v 2


⇔ . . .



 1 · v 1 + 1 · v 2 + . . . + 1 · v n−1 + 1 · v n = n · v n−1



1 · v 1 + 1 · v 2 + . . . + 1 · v n−1 + 1 · v n = n · v n