Page 101 - MATINF Nr. 13-14

´
Rezolvarea problemelor date la concursul de admitere la Ecole Polytechnique, filiera MPI, sesiunea 2024 101

Integr˘am pe intervalul [0, 1] relat , ia din punctul 1.b s , i obt , inem

1 1
Z Z
X î n n−1 ó
ε (σ) x ν(σ) dx = (x − 1) + n(x − 1) dx,
σ∈S n
0 0
deci
1 1 n 1

x ν(σ)+1 (x − 1) n+1
X (x − 1)
ε (σ) · = + n · ,

n + 1 n
ν (σ) + 1 0
σ∈S n 0 0
astfel
ε (σ) (−1) n+1 n
X n n+1
= − − (−1) = (−1) · .
ν (σ) + 1 n + 1 n + 1
σ∈S n
a
3. Din punctul 2 avem c˘
X
ε (σ) = 0.
σ∈S n
Deoarece ε (σ) = −1 sau 1, relat , ia anterioar˘ se rescrie sub forma
a
card {σ ∈ S n : ε (σ) = 1} − card {σ ∈ S n : ε (σ) = −1} = 0,
deci
1
card {σ ∈ S n : ε (σ) = 1} = card {σ ∈ S n : ε (σ) = −1} = card (S n ) .
2
Pentru probabilitatea uniform˘ pe S n avem
a
card (A)
P (A) = , ∀A ⊆ S n .
card (S n )

Prin urmare
1
P ({σ ∈ S n : ε (σ) = −1}) = P ({σ ∈ S n : ε (σ) = 1}) = .
2
a
4. Avem c˘a σ ∈ D n (nu are puncte fixe) dac˘ s , i numai dac˘a ν (σ) = 0.
P n−1
Separ˘am termenul liber din relat , ia punctului 1.b s , i obt , inem ε (σ) = (−1) (n − 1) .
σ∈D n
a
Deoarece ε (σ) = −1 sau 1, relat , ia anterioar˘ se rescrie sub forma
card {σ ∈ D n : ε (σ) = 1} − card {σ ∈ D n : ε (σ) = −1} = (−1) n−1 (n − 1) .

2
m
a
a
a
5. a. Prob˘am c˘ sistemul B 0 = {1, X, X , . . . , X } este o baz˘ vectorial˘ pentru R m [X] .
Evident B 0 ⊂ R m [X] . Deoarece ∀P ∈ R m [X],
2
n
∃a 0 , a 1 , a 2 , . . . , a n ∈ R astfel ca P = a 0 + a 1 X + a 2 X + . . . + a n X ,
B 0 este un sistem de generatori. Deoarece
2
n
a 0 + a 1 X + a 2 X + . . . + a n X = 0 ⇒ a 0 = a 1 = a 2 = . . . = a n = 0,
B 0 este un sistem liniar independent. Astfel, B 0 este o baz˘ vectorial˘a.
a