Page 103 - MATINF Nr. 13-14

´
Rezolvarea problemelor date la concursul de admitere la Ecole Polytechnique, filiera MPI, sesiunea 2024 103

5. c. Matricea M este subdiagonal˘a, deci determinanul ei este produsul elementelor de pe
diagonala principal˘a (toate sunt 1), deci det M = 1 6= 0, astfel M este inversabil˘a. Deoarece
M −1 este matricea de trecere de la baza B 0 la baza B 1 , cu punctul 5.a, M −1 = L.

5. d. Relat , iile
k
X
l
u k = C v l , ∀k ≤ m,
k
l=0
se pot scrie matriceal sub forma

â ì â 0 ì â ì
C 0 0 . . . 0
u 0 v 0
0
u 1 C 1 0 C 1 1 0 . . . 0 v 1
u 2 = C 2 0 C 2 1 C 2 2 . . . 0 · v 2 ,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C 0 C 1 C 2 . . . C m
u m v m
m m m m
T
T
deci u = M v .
ˆ −1 = L s , i obt , inem v = L u , adic˘a
T
T
Inmult , im aceast˘a relat , ie la stˆanga cu M
â ì â 0 0 ì â ì
C (−1) 0 0 . . . 0
v 0 0 1 0 u 0
0
1
v 1 C (−1) C (−1) 0 . . . 0 u 1
1
1
0
1
2
v 2 = C (−1) 2 C (−1) 1 C (−1) 0 . . . 0 · u 2 ,
2
2
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
m
2
0
C (−1) m C (−1) m−1 C (−1) m−2 . . . C (−1) 0
v m m m m m u m
deci
k
X k−l
l
v k = (−1) C u l , ∀k ≤ m.
k
l=0
6. Fie F n = S n \D n mult , imea permut˘arilor de ordin n care au puncte fixe. Pentru σ ∈ F n
putem avea unul din urm˘atoarele cazuri:
• σ are un singur punct fix, adic˘a ∃ ! i ∈ {1, 2, . . . , n} astfel ca σ (i) = i; ˆın acest caz
a
σ| {1, 2,...,n}\{i} nu are puncte fixe s , i o putem considera din D n−1 (conteaz˘ doar num˘arul de
1
a
elemente pe care le permut˘am); exist˘ C · D n−1 astfel de cazuri;
n
• σ are exact dou˘a puncte fixe, adic˘a ∃ ! i < j, i, j ∈ {1, 2, . . . , n} astfel ca σ (i) = i s , i
σ (j) = j; ˆın acest caz σ| nu are puncte fixe s , i o putem considera din D n−2 ;
{1, 2,...,n}\{i,j}
2
a
exist˘ C · D n−2 astfel de cazuri;
n
.
• . .
• σ are exact n − 2 puncte fixe; exist˘ C n−2 · D 2 astfel de cazuri;
a
n
• σ are exact n puncte fixe; exist˘a un singur astfel de caz.
Din cele anterioare, deducem
1
2
card F n = C · D n−1 + C · D n−2 + . . . + C n n−2 · D 2 + 1,
n
n