Page 97 - MATINF Nr. 13-14

´
Rezolvarea problemelor date la concursul de admitere la Ecole Polytechnique, filiera MPI, sesiunea 2024 97

b. Demonstrat , i c˘a

X 2 X X
∗
ω(n) = card {n ∈ N : n ≤ x, p 1 |n s , i p 2 |n}.
n≤x p 1 ≤x p 2 ≤x
p 1 prim p 2 prim

c. Demonstrat , i c˘a
X ∗ 2
card {n ∈ N : n ≤ x, p 1 |n s , i p 2 |n} − x (ln 2 (x)) = O (xln 2 (x)) .
x→+∞
p 1 ,p 2 ≤x
p 1 6=p 2 prime
Se poate estima cardinalul mult , imii de perechi de numere prime (p 1 , p 2 ) astfel ˆıncˆat p 1 p 2 ≤ x
cˆand x tinde spre +∞.
1 X
d. Concluzionat , i c˘a (ω (n) − ln 2 (x)) 2 = O (ln 2 (x)) .
x x→+∞
n≤x

® ´

23. Fie S = n ≥ 3 : ω (n) − ln 2 (n) ≥ (ln 2 (n)) 1/4 . Demonstrat , i c˘a
p
ln 2 (n)

1
lim card {n ≤ x : n ∈ S} = 0.
x→+∞ x
T √ √
T
Se poate ˆıncepe prin a scrie card (S [1, x]) = card (S [ x, x]) + O ( x) s , i observa apoi
x→+∞
c˘ ˆın suma din partea dreapt˘a diferent , a |ln 2 (n) − ln 2 (x)| r˘amˆane m˘arginit˘a.
a
a
Spunem atunci c˘ mult , imea S are densitatea 0. Ca s , i ˆın cazul permut˘arilor, obt , inem c˘a, ˆın
afara unei mult , imi de densitate zero,
ω (n) = ln (ln (n)) (1 + o (1)) .

Solutii
,

a
1. a. Matricea −M 0 este simetric˘a. Comform teoriei, exist˘ o baz˘ ortonormat˘ format˘ din
a
a
a
vectorii propri ai matricei ˆın care ea are forma diagonal˘a. Pentru a determina valorile proprii
ale matricei, rezolv˘am ecuat , ia caracteristic˘a
det (−M 0 − λI n ) = 0

λ 1 · · · 1 1

1 λ · · · 1 1

. . . .
.
⇔ . . . . . . . . . = 0.
.

1 1 · · · λ 1

1 1 · · · 1 λ

Pentru calculul determinantului adun˘am la prima coloan˘ celelalte coloane s , i obt , inem
a

n − 1 + λ 1 · · · 1 1

n − 1 + λ λ · · · 1 1

. . .
. . . . . . = 0;
.
. . . . .

n − 1 + λ 1 · · · λ 1

n − 1 + λ 1 · · · 1 λ