Page 95 - MATINF Nr. 13-14

´
Rezolvarea problemelor date la concursul de admitere la Ecole Polytechnique, filiera MPI, sesiunea 2024 95

15. Justificat , i faptul c˘a exist˘a un num˘ar real C > 0 astfel ˆıncˆat, pentru orice num˘ar real
ε > 0 s , i orice num˘ar natural n ≥ 2, avem

C
P (|X n − ln (n)| > ε ln (n)) ≤ .
2
ε ln (n)
Partea a doua

Pentru orice num˘ar natural nenul n, not˘am

X
ω (n) = card {p prim : p|n} = 1.
p|n
p prim
De exemplu, ω (6) = ω (12) = 2.

X
16. Fie (a n ) n≥2 un s , ir de numere reale. Pentru t ∈ R, not˘am A (t) = a k . Fie
2≤k≤t
1
b : [0, ∞) → R o funct , ie de clasa C . Demonstrat , i c˘a, pentru orice num˘ar natural n ≥ 2, avem
n
n Z
X
0
a k b (k) = A (n) b (n) − b (t) A (t) dt.
k=2
2
17. Obiectivul acestui item este de a demonstra c˘a, dac˘ n este un num˘ar natural diferit de
a
Y
n
zero, atunci p ≤ 4 .
p≤n
p prim
a. Tratat , i cazurile n ∈ {1, 2, 3}.
Presupunem acum c˘a n ≥ 4 s , i rezultatul este adev˘arat pentru orice num˘ar ˆıntreg k din
{1, . . . , n − 1}.

b. Stabilit , i rezultatul pentru n, dac˘a n este par.
Y
c. Fie n = 2m + 1 cu m ∈ N. Justificat , i c˘a p divide C m s , i ar˘atat , i c˘a
2m+1
m+1<p≤2m+1
p prim
m
m
C 2m+1 ≤ 4 .
ˆ
d. Incheiat , i demonstrat , ia.
18. Fie n un num˘ar natural nenul s , i fie p un num˘ar prim. Justificat , i formula

+∞ Å ã
X n
ν p (n !) = E
p k
k=1
s , i demonstrat , i c˘a
n n n
− 1 < ν p (n !) ≤ + .
p p p (p − 1)

19. a. Prin comparat , ie cu o integral˘a, stabilit , i c˘a

n
X
ln (k) = n ln (n) − n + O (ln (n)) .
n→+∞
k=1