Page 102 - MATINF Nr. 13-14

102 M.N. Popescu

¶ ©
2 m
a
a
a
Prob˘am c˘ sistemul B 1 = 1, X − 1, (X − 1) , . . . , (X − 1) este o baz˘ vectorial˘ pentru
R m [X] . Evident B 1 ⊂ R m [X] . Deoarece card B 1 = card B 0 = dim R m [X] s , i cardinalul bazei
a
vectoriale a unui spat , iu vectorial finit dimensional este invariant, este suficient s˘ verific˘am doar
a
c˘ B 1 este un sistem liniar independent. Pentru aceasta este suficient s˘ verific˘am c˘a matricea
a
de trecere de la sistemul B 0 la sistemul B 1 este nesingular˘a. Avem
0
2
0
m
1 = C (−1) · 1 + 0 · X + 0 · X + . . . + 0 · X ,
0
0
1
m
0
2
1
X − 1 = C (−1) · 1 + C (−1) · X + 0 · X + . . . + 0 · X ,
1 1
0
1
2
2
2
0
1
2
m
(X − 1) = C (−1) · 1 + C (−1) · X + C (−1) · X + . . . + 0 · X ,
2 2 2
. . .
m 0 m 1 m−1 2 m−2 2 m 0 m
(X − 1) = C (−1) · 1 + C (−1) · X + C (−1) · X + . . . + C (−1) · X
m
m
m
m
s , i astfel matricea de trecere este
â 0 0 ì
C (−1) 0 0 . . . 0
0
1
0
C (−1) 1 C (−1) 0 0 . . . 0
1
1
1
0
0
C (−1) 2 C (−1) 1 C (−1) 0 . . . 0 = L.
2 2 2
. . . . . . . . . . . . . . .
2
0
m
1
C (−1) m C (−1) m−1 C (−1) m−2 . . . C (−1) 0
m
m
m
m
Determinantul acestei matrice (subdiagonale) este produsul elementelor de pe diagonala princi-
a
pal˘ (toate sunt 1), deci det L = 1, astfel L este nesingular˘a.
5. b. Scriem baza B 0 ˆın funct , ie de baza B 1 :
0
2
m
0
1 = (X − 1 + 1) = C · 1 + 0 · (X − 1) + 0 · (X − 1) + . . . + 0 · (X − 1) ,
0
1 0 1 2 m
X = (X − 1 + 1) = C · 1 + C · (X − 1) + 0 · (X − 1) + . . . + 0 · (X − 1) ,
1
1
2
m
2
2
1
0
2
X = (X − 1 + 1) = C · 1 + C · (X − 1) + C · (X − 1) + . . . + 0 · (X − 1) ,
2 2 2
. . .
m
2
m
2
0
1
m
X m = (X − 1 + 1) = C · 1 + C · (X − 1) + C · (X − 1) + . . . + C · (X − 1) .
m
m
m
m
Astfel matricea de trecere de la baza B 1 la baza B 0 este
â 0 ì
C 0 0 0 . . . 0
C 1 0 C 1 1 0 . . . 0
C 0 C 1 C 2 . . . 0
2 2 2 = M.
. . . . . . . . . . . . . . .
C 0 C 1 C 2 . . . C m
m m m m
a
Pentru aplicat , ia identic˘
I : (R m [X] , B 0 ) → (R m [X] , B 1 )
matricea asociat˘a (I ij ) are proprietatea
0≤i,j≤m
m
X j
i

X = I X i = I ji (X − 1) , 0 ≤ i ≤ m,
j=0
T
deci (I ij ) = M .
0≤i,j≤m