Page 93 - MATINF Nr. 13-14

´
Rezolvarea problemelor date la concursul de admitere la Ecole Polytechnique, filiera MPI, sesiunea 2024 93

Fie m ∈ N. Consider˘am matricea

C 0 0 0 . . . 0
 0 
0
 C 1 0 C 1 1 0 0 . . . 0 
. . .
 
 . . . . . . . . 
 ∈ M m+1 (R) .
 . 
M =  . . . .
 . . . . . . . . 
 
C m−1 C m−1 . . . . . . C m−1 0
 0 1 m−1 
C 0 C 1 . . . . . . . . . C m
m m m
m
m
5. a. Justificat , i faptul c˘a familiile (1, X, . . . , X ) s , i (1, (X − 1) , . . . , (X − 1) ) sunt baze
ale lui R m [X].
b. Ar˘atat , i c˘a transpusa lui M este matricea asociat˘ aplicat , iei liniare identitate
a
R m [X] → R m [X]
P 7→ P

m
m
pentru bazele (1, X, . . . , X ), respectiv (1, (X − 1) , . . . , (X − 1) ).
a
c. Stabilit , i c˘a M este inversabil˘ s , i determinat , i inversa sa.
k
X l
a
a
d. Deducet , i c˘ pentru orice (u 0 , . . . , u m ), (v 0 , . . . , v m ) ∈ R m+1 , dac˘ u k = C v l , ∀k ≤ m,
k
l=0
k
X k−l
l
atunci v k = (−1) C u l , ∀k ≤ m.
k
l=0
6. Demonstrat , i c˘a pentru orice num˘ar natural nenul n avem
n k
X (−1)
D n = n ! .
k !
k=0
Pentru n num˘ar natural mai mare sau egal cu 2, consider˘am spat , iul de probabilitate
(D n , P (D n )) ˆınzestrat cu probabilitatea uniform˘a. Definim variabila aleatoare Y n prin

Y n (σ) = ε (σ) .

7. a. Explicitat , i legea (repartit , ia) lui Y n .

b. Pentru ε ∈ {−1, 1}, calculat , i lim P (Y n = ε).
n→∞
Pentru n num˘ar natural mai mare sau egal cu 2, consider˘am spat , iul de probabilitate
(S n , P (S n )) ˆınzestrat cu probabilitatea uniform˘a. Definim variabila aleatoare Z n prin

Z n (σ) = ν (σ) .

8. a. Explicitat , i legea (repartit , ia) lui Z n .
b. Pentru k ∈ N, k ≤ n, calculat , i lim P (Z n = k).
n→∞
a
c. Determinat , i num˘arul mediu de puncte fixe ale unei permut˘ri arbitrare, precum s , i limita
acestuia atunci cˆand n tinde spre +∞.