Page 92 - MATINF Nr. 13-14

92 M.N. Popescu

Dac˘ (a n ) ∗ reprezint˘a un s , ir de numere reale, pentru orice num˘ar real x not˘am
a
n∈N
E(x) E(x) E(x)
X X X X Y Y
a n = a n , a p = a p , a p = a p ,
n≤x n=1 p≤x p=1 p≤x p=1
p prim p prim p prim p prim

a
a
a
a
cu convent , iile c˘ suma indexat˘ de mult , imea vid˘ este 0, iar produsul indexat de mult , imea vid˘
este 1.
a
Se poate folosi f˘ar˘a demonstrat , ie faptul c˘ exist˘a un num˘ar real γ astfel ˆıncˆat
n Å ã
X 1 1
= ln (n) + γ + O .
k n→+∞ n
k=1
a
Not˘am f(x) = g(x)+O(h(x)) (s , i spunem c˘ diferent , a dintre f s , i g este dominat˘ asimptotic
a
x→∞
a
de h) dac˘a exist˘ M > 0 s , i x 0 ∈ R astfel ˆıncˆat |f(x) − g(x)| ≤ M|h(x)| pentru orice x ≥ x 0 .
Partea ˆıntˆai

Fie n ≥ 2 un num˘ar natural. Pentru orice num˘ar real x, consider˘am urm˘atoarea matrice din
M n (R)
â ì
x 1 . . . 1 1
1 x . . . 1 1
. . . . .
M x = . . . . . . . . . . .
1 1 . . . x 1
1 1 . . . 1 x

a
a
1. a. Demonstrat , i c˘ matricea −M 0 este diagonalizabil˘ s , i determinat , i valorile sale proprii
s , i subspat , iile sale proprii.
b. Deducet , i c˘a pentru orice x ∈ R avem
X ν(σ) n−1
ε (σ) x = (x − 1) (x + n − 1) .
σ∈S n

2. Calculat , i
ε (σ)
X X X
ε (σ), ε (σ) ν (σ) s , i .
ν (σ) + 1
σ∈S n σ∈S n σ∈S n
3. Stabilit , i egalitatea

card {σ ∈ S n : ε (σ) = 1} = card {σ ∈ S n : ε (σ) = −1}

s , i deducet , i probabilitatea ca o permutare din S n , aleas˘a la ˆıntˆamplare, s˘a aib˘a o signatur˘a
precizat˘a.
4. Pentru σ ∈ S n , specificat , i ce condit , ie trebuie s˘a verifice ν (σ) pentru a avea σ ∈ D n .
Deducet , i egalitatea

n−1
card {σ ∈ D n : ε (σ) = 1} = card {σ ∈ D n : ε (σ) = −1} + (−1) (n − 1) .