Page 91 - MATINF Nr. 13-14

Rezolvarea problemelor date la concursul de admitere la
´
Ecole Polytechnique, filiera MPI, sesiunea 2024

Marin Nicolae Popescu 1

Prezent˘am enunt , urile s , i rezolvarea subiectelor de matematic˘ date ˆın anul 2024 la examenul
a
´
´
de admitere organizat de Ecole Polytechnique (X) s , i de Ecole Normale Sup´erieure (ENS) (Lyon,
Paris-Saclay, Rennes), filierele MP (Math´ematiques-Physique) s , i MPI (Math´ematiques-Physique-
Informatique), proba MathA (concentrat˘a pe Analiz˘a matematic˘a). Examenul este scris s , i
a
dureaz˘ 4 ore. Subiectele sunt ˆımp˘art , ite ˆn dou˘ p˘art , i independente. Utilizarea calculatoarelor
a
ı
este interzis˘a.

Enunt , uri

Notat , ii

∗
Fie N mult , imea numerelor naturale s , i N mult , imea numerelor naturale nenule.
∗
Pentru n ∈ N , fie S n grupul de permut˘ari ale mult , imii {1, . . . , n} s , i ε (σ) signatura unei
permut˘ari σ ∈ S n . Dac˘a σ ∈ S n , numim punct fix al permut˘arii σ un element i ∈ {1, . . . , n}
astfel ˆıncˆat σ (i) = i. Not˘am cu ν (σ) num˘arul de puncte fixe ale lui σ. Numim deranjament o
permutare σ ∈ S n care nu are puncte fixe. Not˘am cu D n mult , imea deranjamentelor lui S n s , i cu
D n cardinalul acestei mult , imi.
k
Dac˘a n, k ∈ N astfel ˆıncˆat k ≤ n, not˘am cu C num˘arul combin˘arilor de n elemente luate
n
k
cˆate k. Prin convent , ie, stabilim C = 0 pentru orice k > n.
n
Not˘am cu R [X] mult , imea polinoamelor cu necunoscuta X s , i coeficient , i reali. Pentru n ∈ N,
not˘am cu R n [X] mult , imea polinoamelor P ∈ R [X] de grad mai mic sau egal cu n.

a
Dac˘ n ≥ 0 s , i d ≥ 1 sunt dou˘a numere naturale, not˘am cu d|n relat , ia ,,d divide n”.
Dac˘a x este un num˘ar real, not˘am cu E (x) partea sa ˆıntreag˘a, adic˘a num˘arul ˆıntreg unic
E (x) astfel ˆıncˆat E (x) ≤ x < E (x) + 1.

∗
ν
Dac˘ p este un num˘ar prim s , i n ∈ N , not˘am ν p (n) = max {ν ∈ N : p |n}.
a
∗
Fie n ∈ N . Not˘am cu M n (R) mult , imea matricelor p˘atratice de dimensiune n cu elemente
numere reale.
Pentru orice mult , ime E, not˘am cu P (E) mult , imea p˘art , ilor (submult , imilor) lui E.

Not˘am cu ln 2 funct , ia cu domeniul (1, ∞) s , i codomeniul R definit˘ prin ln 2 (x) = ln (ln (x)).
a
1
Lect. univ. dr., Universitatea Nat , ional˘a de S , tiint , ˘a s , i Tehnologie POLITEHNICA Bucures , ti, Centrul
Universitar Pites , ti, marin.popescu3007@upb.ro

91