Page 89 - MATINF Nr. 13-14

Rezolvarea problemelor date la Bacalaureat ˆın Frant , a, specializarea Matematic˘a, sesiunea 2024 89

2.a. Din Partea A, 2.b. avem f(x) > 0, pentru x ∈ (α, +∞) .

Å ã Å ã
1 1 1
Deoarece α > 0, avem x ∈ 0, ⇔ ∈ (α, +∞), prin urmare f > 0, pentru
α x x
Å ã
1
x ∈ 0, .
α
b. Deoarece α > 1

x 1
0 1
α
Å ã
1 −
f + 0
x

s , i
1
Å ã
0
g (x) = xf ,
x
avem

x 0 1 1
α
0
g (x) + 0 −

Å ò ï ò
1 1
prin urmare g este cresc˘atoare pe 0, s , i descresc˘atoare pe , 1 .
α α
Partea C: Un calcul al ariei.

1. a. Pe (0, 1], s , tim c˘a ln x ≤ 0, deci

1 7 1 7 7
2
2
2
2
2
− x ln x ≥ 0 ⇔ − x + x − x ln x ≥ − x + x ⇔ g(x) ≥ − x + x,
4 8 4 8 8
deci curba C g este deasupra parabolei P.
b. Folosim formula de integrare prin p˘art , i pentru a calcula
1 1
Z Z Å 3 ã 0 3 1 Z 1 3
x x x
0
2
x ln xdx = · ln xdx = · ln x − · (ln x) dx
3 3 1 1 3
1 1 a a
a a
1 3 1 3 1 Z 1 x 3 1
= · ln 1 − α · ln − · dx
3 3 α 1 3 x
α
3 1
1 1 Z 1 1 1 x
2
= 0 + ln α − x dx = ln α − ·
3α 3 3 1 3α 3 3 3 1
a a
1 1 1 1 1 3
= ln α − · + · α
3α 3 3 3 3 3
3
1 1 1 3 ln α − α + 1
= ln α − + = .
3α 3 9 9α 3 9α 3