Page 88 - MATINF Nr. 13-14

88 M.N. Popescu

b. Derivata lui f:

Å 1 ã 0 1
0
0
0
f (x) = x − 2 + ln x = x − 2 + (ln x) 0
2 2
1 1 2x 1 2x + 1
= 1 − 0 + · = + = .
2 x 2x 2x 2x
c. Monotonia lui f:

0
Pe (0, +∞) avem 2x > 0 s , i 2x + 1 > 0, deci f (x) > 0, prin urmare f este strict cresc˘atoare.
d. Convexitatea lui f:
Calcul˘am derivata a doua a lui f:

Å ã 0 0 0
2x + 1 (2x + 1) · (2x) − (2x + 1) · (2x)
00
f (x) = =
2x (2x) 2
2 · 2x − (2x + 1) · 2 4x − 4x − 2 1
= = = − .
(2x) 2 4x 2 2x 2
00
Pe (0, +∞) avem f (x) < 0, deci f este concav˘a.
2. a. Deoarece f este continu˘a, are proprietatea lui Darboux. Prin urmare f((0, +∞)) este un
interval. Cum lim f(x) = −∞ s , i lim f(x) = ∞, deducem c˘ f((0, +∞)) = (−∞, +∞) = R.
a
x→0 + x→+∞
De aici exist˘ α ∈ (0, +∞) astfel ca f(α) = 0.
a
Cum f este strict cresc˘atoare, ea este injectiv˘a, ˆın particular α este singura r˘ad˘acin˘ a lui f.
a
1 1
Deoarece f(1) = 1 − 2 + ln 1 = −1 < 0 s , i f(2) = 2 − 2 + ln 2 > 0, cu proprietatea lui
2 2
Darboux avem α ∈ (1, 2).

b. Deoarece f este strict cresc˘atoare pe (0, +∞) s , i f(α) = 0, avem: f este negativ˘ pe (0, α)
a
s , i f este pozitiv˘a pe (α, +∞).
1 1
c. Avem f(α) = 0 ⇔ α − 2 + ln α = 0 ⇔ ln α = 2 − α ⇔ ln α = 2(2 − α).
2 2
7 1
2
2
Partea B: Studiul funct , iei g, g(x) = − x + x − x ln x pe (0, 1].
8 4
1. Calcul˘am
Å 7 1 ã 0 7 1 î ó
0
0
2

2
2

g (x) = − x + x − x ln x = − · x 2 0 + x − · x 2 0 · ln x + x · (ln x) 0
8 4 8 4
7 1 Å 1 ã 7 1 1
2
= − · 2x + 1 − 2x · ln x + x · = − x + 1 − x ln x − x
8 4 x 4 2 4
1
= −2x + 1 − x ln x.
2
Calcul˘am
Å ã Å Å ãã Å ã
1 1 1 1 1 1 1
xf = x − 2 + ln = 1 − 2x + x ln = −2x + 1 − x ln x.
x x 2 x 2 x 2
Å ã
1
0
Deci g (x) = xf .
x