Page 87 - MATINF Nr. 13-14

Rezolvarea problemelor date la Bacalaureat ˆın Frant , a, specializarea Matematic˘a, sesiunea 2024 87

b. Volumul tetraedrului ABCH este

aria bazei ·ˆın˘alt , imea S 4ABH · CO
V = = ,
3 3
25 √ 25 · 10 125
2
2
2
ˆın care S 4ABH = s , i OC = 0 + 0 + 10 = 10, deci V = 4 = .
4 3 6
5. Not˘am cu h distant , a de la H la planul (ABC). Ea este lungimea ˆın˘alt , imii din H a
S 4ABC · h
tetraedrului ABCH, prin urmare V = .
3
AB · BC
Deoarece triunghiul ABC este dreptunghic ˆın B, S 4ABC = , cu
2
»
2
2
AB = (x B − x A ) + (y B − y A ) + (z B − z A ) 2
»
2
2
2
= (0 − 5) + (5 − 5) + (0 − 0) = 5
s , i
»
2
2
BC = (x C − x B ) + (y C − y B ) + (z C − z B ) 2
»
2
= (0 − 0) + (0 − 5) + (10 − 0) 2
2
√ √
2
2
= 5 + 10 = 125,
deci √
5 · 125
S 4ABC = .
2
ˆ
Inlocuim ˆın formula
S 4ABC · h
V =
3
m˘arimile cunoscute √
125 5· 125 · h
= 2
6 3
s , i obt , inem
√
125 6 125 √
h = · √ = = 5.
6 5 125 5
Exercit , iul 4.
1
Partea A: Studiul funct , iei f, f(x) = x − 2 + ln x pe (0, +∞).
2
1. a. Limita la 0:
1 1
Å ã
lim f(x) = lim x − 2 + ln x = lim (x − 2) + lim ln x
x→0 x→0 2 x→0 2 x→0
x>0 x>0 x>0 x>0
1
= (0 − 2) + · (−∞) = −∞.
2
Limita la +∞:

Å ã
1 1
lim f(x) = lim x − 2 + ln x = lim (x − 2) + lim ln x
x→+∞ x→+∞ 2 x→+∞ 2 x→+∞
1
= ∞ − 2 + · ∞ = ∞.
2