Page 84 - MATINF Nr. 13-14

84 M.N. Popescu

5. a. Alegem un client: fie este mult , umit cu o probabilitate p = 0,8, fie nu este. Acesta
este un test cu dou˘a rezultate, prin urmare un test binomial. Repet˘am acest test de n ori,
a
a
probe identice s , i independente. Variabila aleatoare X care num˘ar˘ client , ii mult , umit , i urmeaz˘ o
a
distribut , ie binomial˘a cu parametrii n = 30 s , i p = 0,8, deci are forma matriceal˘
Ç å Ç å
k k
X = =
k
k
k k
C p (1 − p) n−k C · 0,8 · 0, 2 30−k
n 0≤k≤n 30 0≤k≤30
b. Probabilitatea ca cel put , in 25 de client , i, dintr-un es , alon de 30, s˘a fie mult , umit , i este
probabilitatea evenimentului ”X ≥ 25”, deci
30 30
X X
k
k
25
5
26
P(X ≥ 25) = P(X = k) = C · 0,8 · 0,2 30−k = C 25 · 0,8 · 0,2 + C 26 · 0,8 · 0,2 4
30 30 30
k=25 k=25
30
2
28
29
29
28
27
27
3
+ C 30 · 0,8 · 0,2 + C 30 · 0,8 · 0,2 + C 30 · 0,8 · 0,2 + C 30 · 0,8 30 ≈ 0,428 (cu calculatorul).
6. Consider˘am acum c˘a X urmeaz˘a o distribut , ie binomial˘a cu parametrul necunoscut n
s , i parametru cunoscut p = 0,8. Evenimentul cel put , in o persoan˘a este nemult , umit˘a” este
”
evenimentul opus evenimentului toat˘ lumea este mult , umit˘a” (X = n). Deoarece
a
”
P(A) + P(A) = 1,
a
probabilitatea ca cel put , in o persoan˘ s˘ fie nemult , umit˘ este egal˘ cu:
a
a
a
1 − P(X = n).
Vrem ca aceast˘ probabilitate s˘ fie mai mare ca 0,99, deci
a
a
n
n n
n
1 − P(X = n) ≥ 0,99 ⇔ 1 − C p (1 − p) n−n ≥ 0,99 ⇔ 1 − 0,8 ≥ 0,99 ⇔ −0,8 ≥ −0,01
n
ln(0,01)
n
n
⇔ 0,8 ≤ 0,01 ⇔ ln(0,8 ) ≤ ln(0,01) ⇔ n ≥ .
ln(0,8)
ln(0,01)
Deoarece (cu calculatorul) ≈ 20,6 obt , inem n ≥ 21.
ln(0,8)
7. Consider˘am variabila aleatoare T = T 1 + T 2 .
a. Deoarece valoarea medie este liniar˘a, avem
M(T) = M(T 1 + T 2 ) = M(T 1 ) + E(T 2 ) = 4 + 3 = 7;
deoarece variabilele T 1 s , i T 2 sunt independente, avem
2
2
2
2
σ (T) = σ (T 1 + T 2 ) = σ (T 1 ) + σ (T 2 ) = 2 + 1 = 3.
b. Vrem s˘ estim˘am P(5 ≤ T ≤ 9). Vom folosi Inegalitatea lui Cebˆıs , ev
a
2
σ (T)

P |T − M(T)| ≥ ε ≤ .
ε 2
Folosind c˘ T ∈ N avem
a
5 ≤ T ≤ 9 ⇔ 4 < T < 10 ⇔ 4 − 7 < T − M(T) < 10 − 7 ⇔ |T − M(T)| < 3,