Page 85 - MATINF Nr. 13-14

Rezolvarea problemelor date la Bacalaureat ˆın Frant , a, specializarea Matematic˘a, sesiunea 2024 85

deci
P(5 ≤ T ≤ 9) = P(|T − M(T)| < 3)

= 1 − P(|T − M(T)| ≥ 3)
2
σ (T) 3 2
≥ 1 − = 1 − = .
3 2 3 2 3
Exercit , iul 3.
~
~ ~
1. a. Scriem ˆın baza canonic˘a i, j s , i k vectorii
−→
~
~
~
AC = (x C − x A )i + (y C − y A )j + (z C − z A )k
~
~
~
~
~
~
= (0 − 5)i + (0 − 5)j + (10 − 0)k = −5i − 5j + 10k,
−−→
~
~
~
AD = (x D − x A )i + (y D − y A )j + (z D − z A )k
Å 5 ã 5
~
~
~
~
~
~
= (0 − 5)i + (0 − 5)j + − − 0 k = −5i − 5j − k
2 2
s , i
~
~
~
~n = 1 · i − 1 · j + 0 · k.
Folosim formula de calcul a produsului scalar:
~
~
~
~
~
~
dac˘ ~u = u 1 i + u 2 j + u 3 k s , i ~v = v 1 i + v 2 j + v 3 k, atunci ~u · ~v = u 1 · v 1 + u 2 · v 2 + u 3 · v 3 .
a
Calcul˘am
−→
~n · AC = 1 · (−5) + (−1) · (−5) + 0 · 10 = −5 + 5 = 0,
−−→ Å 5 ã
~n · AD = 1 · (−5) + (−1) · (−5) + 0 · − = −5 + 5 = 0.
2
−→ −−→ −→ −−→
Am obt , inut c˘a ~n este ortogonal pe vectorii AC s , i AD, cum AC s , i AD sunt necoliniari
(deoarece coordonatele lor sunt neproport , ionale) avem c˘a ~n este un vector normal la planul
(CAD).
b. Fie P(x, y, z) un punct arbitrar din spat , iu. Atunci
−→
~
~
~
~
~
~
AP = (x p − x A )i + (y p − y A )j + (z p − z A )k = (x − 5)i + (y − 5)j + (z − 0)k.
−→ −→
Avem c˘a P apart , ine planului (CAD) ⇔ ~n este ortogonal pe AP ⇔ ~n · AP = 0 ⇔
1 · (x − 5) + (−1) · (y − 5) + 0 · (z − 0) = 0 ⇔ x − 5 − y + 5 = 0 ⇔ x − y = 0.
Astfel, x − y = 0 este ecuat , ia cartezian˘a a planului (CAD).
2. a. Fie (x H , y H , z H ) coordonatele punctul H. Deoarece H ∈ (CAD), avem x H − y H = 0.
5

x H = · t H

2


Deoarece H ∈ D, exist˘a t H un num˘ar real astfel ca 5 .
 H = 5 − · t H
y
 2

z H = 0

Prelu˘am x H s , i y H din acolad˘a s , i ˆınlocuim ˆın ecuat , ia de mai sus, obt , inem
5 Å 5 ã
· t H − 5 − · t H = 0 ⇔ 5t H − 5 = 0 ⇔ t H = 1.
2 2