Page 82 - MATINF Nr. 13-14

82 M.N. Popescu

Solutii
,

Exercit , iul 1.
Afirmat , ia 1. Vom folosi Regula lui L’Hˆopital pentru a calcula limita

5x ∞
lim f (x) = lim , caz nedefinit
x→+∞ x→+∞ e x ∞
0
(5x) 5 5
= lim 0 = lim = = 0.
x
x→+∞ (e ) x→+∞ e x ∞
a
Deoarece lim f (x) = 0, dreapta y = 0 (deci axa Ox) este asimptot˘ orizontal˘ la ∞ pentru
a
x→+∞
curba C f .
Afirmat , ia este adev˘arat˘a.
Afirmat , ia 2.

Consider˘am y = f (x) s , i calcul˘am

0
0
0

y = f (x) = 5xe −x 0 = (5x) · e −x + 5x · e −x 0
−x
= 5 · e −x + 5x · e −x (−1) = 5e −x − 5xe ,
0
−x
f (x) + f(x) = 5e −x − 5xe −x + 5xe −x = 5e .
Astfel
0
−x
y + y = 5e ,
deci funct , ia f este solut , ie a ecuat , iei diferent , iale (E).

Afirmat , ia este adev˘arat˘a.
2. Afirmat , ia 3.

Vom da un contraexemplu.
n
Consider˘am s , irurile de termen general u n = −1, v n = (−1) s , i w n = 1.

Avem:
- s , irul (u n ) converge la −1,
n≥0
- s , irul (w n ) converge la 1,
n≥0
u n ≤ v n ≤ w n , ∀n ≥ 0,

dar s , irul (v n ) este divergent.
n≥0
Afirmat , ia este fals˘a.

Afirmat , ia 4.

Deoarece s , irul (u n ) este cresc˘ator,
n≥0
u 0 ≤ u n , ∀n ≥ 0;