Page 81 - MATINF Nr. 13-14

Rezolvarea problemelor date la Bacalaureat ˆın Frant , a, specializarea Matematic˘a, sesiunea 2024 81

Partea B: Studiul funct , iei g.

7 1
2
2
Funct , ia g este definit˘a pe (0, 1] prin g(x) = − x + x − x ln x.
8 4
0
a
Presupunem c˘a funct , ia g este diferent , iabil˘ pe (0, 1] s , i not˘am funct , ia sa derivat˘a cu g .
1
Å ã
0
0
1. Calculat , i g (x) pentru x ∈ (0, 1], apoi verificat , i c˘a g (x) = xf .
x
Å ã Å ã
1 1
2. a. Justificat , i faptul ca pentru x apart , inˆand intervalului 0, , avem f > 0.
α x
b. Admitem cunoscut urm˘atorul tabel de semn.
x 1
0 1
α
Å ã
1 −
Semnul lui f + 0
x

Deducet , i tabelul variat , iei lui g pe intervalul (0, 1].

Imaginea s , i limitele nu sunt necesare.
Partea C: Un calcul al ariei.

Graficul de mai jos prezint˘a:

• Curba C g a funct , iei g;
7
2
• Parabola P cu ecuat , ia y = − x + x pe intervalul (0, 1].
8

Vrem s˘a calcul˘am aria A a domeniului has , urat dintre curbele C g s , i P s , i liniile drepte cu
1
ecuat , iile x = s , i x = 1.
α
a
Reamintim c˘ ln α = 2 (2 − α).
1. a. Justificat , i pozit , ia relativ˘a a curbelor C g s , i P pe intervalul (0, 1].

b. Demonstrat , i egalitatea:
1 −α − 6α + 13
3
Z
2
x ln xdx = .
1 9α 3
α
2. Deducet , i expresia ariei A ˆın funct , ie de α.