Page 80 - MATINF Nr. 13-14

80 M.N. Popescu

Ñ é
1
1. a. Demonstrat , i c˘a ~n −1 este un vector normal la planul (CAD).
0
b. Deducet , i c˘a planul (CAD) are urm˘atoarea ecuat , ie cartezian˘a: x − y = 0.

2. Consider˘am dreapta D cu reprezentare parametric˘
a
5

x = · t

2


5
y = 5 − · t , unde t ∈ R.
2



z = 0

a
a
a. Presupunem c˘ dreapta D s , i planul (CAD) se intersecteaz˘ ˆın punctul H. Justificat , i c˘
a
Å ã
5 5
coordonatele lui H sunt , , 0 .
2 2
b. Demonstrat , i c˘a punctul H este proiect , ia ortogonal˘a a lui B pe planul (CAD).
3. a. Demonstrat , i c˘a triunghiul ABH este dreptunghic ˆın punctul H.
25
b. Deducet , i c˘a aria triunghiului ABH este egal˘a cu .
4
4. a. Demonstrat , i c˘a (CO) este ˆın˘alt , imea din C a tetraedrului ABCH.
b. Deducet , i volumul tetraedrului ABCH.

1
Reamintim c˘ volumul unui tetraedru este dat de V = · b · h, unde b este aria unei baze s , i
a
3
h ˆın˘alt , imea relativ˘a la aceast˘a baz˘a.
5. Presupunem c˘ triunghiul ABC este dreptunghic ˆın B. Deducet , i din ˆıntreb˘arile anterioare
a
distant , a de la punctul H la planul (ABC).

Exercit , iul 4 (6 puncte)

Partea A: Studiul funct , iei f.
1
Funct , ia f este definit˘a pe intervalul (0, ∞) prin f(x) = x − 2 + ln x,
2
unde ln reprezint˘a funct , ia logaritm natural. Presupunem c˘a funct , ia f este de dou˘a ori
00
0
a
diferent , iabil˘ pe (0, ∞), not˘am f derivata sa s , i f derivata sa secundar˘a.
1. a. Determinat , i, prin justificare, limitele lui f la 0 s , i la +∞.
2x + 1
0
b. Ar˘atat , i c˘a pentru orice x apart , inˆand lui (0, ∞), avem f (x) = .
2x
c. Studiat , i variat , ia lui f pe (0, ∞).

d. Studiat , i convexitatea lui f pe (0, ∞).

a
a
2. a. Demonstrat , i c˘ ecuat , ia f(x) = 0 are o solut , ie unic˘ ˆın (0, ∞), pe care o vom nota cu
α, s , i justificat , i c˘a α apart , ine intervalului (1, 2).
b. Determinat , i semnul lui f(x) pentru x ∈ (0, ∞).
c. Demonstrat , i c˘a ln α = 2(2 − α).