Page 143 - MATINF Nr. 13-14

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI 143

ˆ
In concluzie, xyz este maxim fie dac˘a (∃)! 1 ≤ u ≤ v < 4 astfel ˆıncˆat 2u + v = a + b + c s , i
2
2
a
u + 2uv = ab + bc + ca s , i max xyz = u v, fie dac˘ x = 4.
ˆ 2 a a
In primul caz, avem abc ≤ u v s , i a ≤ v. Deci este suficient s˘ ar˘at˘am c˘
√ 1
2
2
6u v + · (v − 1) ≤ ab + bc + ca + a + b + c = u + 2uv + 2u + v.
3
√
2
Deci dac˘a not˘am v = w, atunci w ∈ (1, 2), u ≤ w s , i ultima inegalitate devine
1 2
2
2
2
2
· w − 1 ≤ u − 2 −w + 3w − 1 u + w .
3
2
2
S˘ remarc˘am c˘a 1 < −w + 3w − 1 < w < w .
a
2
2
2
2
a
As , adar, p˘atratica f(u) = u −2 (−w + 3w − 1) u+w , definit˘ pe [1, w ], ˆs , i atinge minimul
ı
2
pentru u = −w + 3w − 1. Dar
2
2
2

f −w + 3w − 1 = −w + 4w − 1 (w − 1) .
a
a
Deci este suficient s˘ ar˘at˘am c˘
1 2
2
2
2
· w − 1 ≤ −w + 4w − 1 (w − 1) ,
3
1
2
2
adic˘a · (w + 1) ≤ −w + 4w − 1, adic˘a (2w − 1)(w − 2) ≤ 0, ceea ce este evident adev˘arat,
3
chiar cu inegalitate strict˘a.
ˆ
In al doilea caz, avem
√ 1 √ 1 √
2
2
6 abc + · (a − 1) ≤ 12 yz + · (4 − 1) = 12 yz + 3.
3 3
a
a
Deci este suficient s˘ ar˘at˘am c˘
√
12 yz + 3 ≤ ab + bc + ca + a + b + c = yz + 5(y + z) + 4.
√
Dac˘ not˘am yz = p, atunci 10p ≤ 5(y + z), cu egalitate dac˘ s , i numai dac˘a y = z.
a
a
2
2
Deci r˘amˆane de ar˘atat c˘a 12p + 3 ≤ p + 10p + 4, adic˘a (p − 1) ≥ 0, adev˘arat. Egalitatea
are loc dac˘ s , i numai dac˘a p = 1, adic˘ y = z = 1.
a
a
Deci cazurile de egalitate sunt β(1, 1, 1, 1) s , i β(4, 1, 1, 1), cu β > 0.
c) Evident, K n > 0. F˘ar˘ a restrˆange generalitatea, putem presupune c˘ a n = 1.
a
a
a
Dac˘ a 1 = 1, atunci inegalitatea este adev˘arat˘a. Fie a 1 > 1.
n−1 n−1
P P 2
Fix˘am sumele a i = S > n − 1 s , i a = Q. Se cunoas , te c˘a (∃)! y ≥ x ≥ 1 a.ˆı.
i
i=1 i=1
2
2
S = y + (n − 2)x s , i Q = y + (n − 2)x . Atunci a n−1 ≤ x. Conform Teoremei variabilelor egale,
n
Q 2 2n−4 2
a ≤ x y . Astfel, vom studia inegalitatea
i
i=1
p 2 2
n
y +K n (x−1) ≤ (n−2)(n−3)x +2(n−2)xy +2(n−2)x+2y, pentru y ≥ x.
n(n−1) x 2n−4 2