Page 139 - MATINF Nr. 13-14

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI 139

n

Consider˘am funct , ia g(x) = x(n − x), x ∈ [1, n − 1]. Avem max g = g .
2
n n
2
Cum k ∈ {1, 2, . . . , n − 1}, deducem c˘ max k(n − k) = g = pentru n par, respectiv
a
2 4
ß Å ã Å ã™ 2
n − 1 n + 1 n − 1
ˆ
max k(n−k) = max g , g = pentru n impar. In concluzie, min K n =
2 2 4
ï 2 ò
n
.
4
b) Evident, C n > 0. Din nou putem presupune c˘a a n = 1 s , i a 1 > 1. Fix˘am acum sumele
n−1 n−1
P P 2
a i = S > n − 1 s , i a = Q. Se cunoas , te c˘ exist˘ o pereche unic˘ (x, y) cu y ≥ x ≥ 1 a.ˆı.
a
a
a
i
i=1 i=1
(u − 1) 2
2
2
S = y+(n−2)x s , i Q = y +(n−2)x . Atunci a 1 ≤ x s , i funct , ia u → este strict cresc˘atoare
u
pe [1, ∞). Conform Teoremei variabilelor egale, Corolarul 1.4 (V. Cˆıırtoaje, The equal variable
method, Journal of Inequlities in Pure and Applied Mathematics, vol. 8, iss. 1, art. 15, 2007;
https://www.emis.de/journals/JIPAM/images/059 06 JIPAM/059 06 www.pdf#page=5),
1 1 1 1 n − 2
pentru funct , ia u → pe (0, ∞), rezult˘a c˘ + . . . + ≥ + + 1. Avem
a
u a 1 a n y x
Å ã Å ã
1 1 1 1
(a 1 + . . . + a n ) + . . . + = (y + (n − 2)x + 1) + . . . +
a 1 a n a 1 a n
Å ã 2 2
1 n − 2 (y − 1) (a 1 − 1)
≥ (y + (n − 2)x + 1) + + 1 s , i ≥ .
y x y a 1
Astfel, vom studia inegalitatea
1 n − 2 (y − 1)
Å ã 2
2
(y + (n − 2)x + 1) + + 1 ≥ n + C n · , pentru x ∈ [1, y].
y x y
1 n − 2 f (x) 1 1
Å ã 0
Fie funct , ia f(x) = (y+(n−2)x+1) + + 1 , x ∈ [1, y]. Atunci = − 2 ,
√ y x (n − 2)(y + 1) y x
deci min f = f( y).
√ (y − 1) 2
Astfel este suficient s˘a consider˘am inegalitatea f( y) ≥ n + C n · , adic˘a
2
√ y
√ √ y + 2(n − 1) y + 1
2
y + 2(n − 1) y + 1 ≥ C n ( y + 1) , adic˘a √ ≥ C n pentru y > 1.
( y + 1) 2
√ √
y + 2(n − 1) y + 1 y + 2(n − 1) y + 1
Deoarece √ > 1 pentru orice y > 1 s , i lim √ = 1, avem
( y + 1) 2 y→∞ ( y + 1) 2
√
y + 2(n − 1) y + 1
ˆ
inf √ = 1. In concluzie, max C n = 1.
y>1 ( y + 1) 2
c) Vom proceda similar ca la punctul b). Acum avem a n−1 ≤ x, deci vom studia inegalitatea
1 n − 2 (x − 1)
Å ã 2
2
(y + (n − 2)x + 1) + + 1 ≥ n + Λ n · , pentru y ≥ x. Consider˘am funct , ia
y x x
1 n − 2
Å ã
0
f(y) = (y + (n − 2)x + 1) + + 1 , y ≥ x. Atunci f (y) ≥ 0 pentru orice y ≥ x, deci
y x
(x − 1) 2
2
a
min f = f(x). Astfel este suficient s˘ consider˘am inegalitatea f(x) ≥ n + Λ n · , adic˘a
x
ˆ
n − 1 ≥ Λ n . In concluzie, max Λ n = n − 1.