Page 148 - MATINF Nr. 13-14

˘
148 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI

Clasa a XII-a

M 260. Fie (G, ·) un grup cu 2n + 1 elemente, n ∈ N. Consider˘am funct , ia f : G → N,

f(x) = num˘arul de subgrupuri (ale lui G) ce ˆıl cont , in pe x.

Ar˘atat , i c˘a imaginea funct , iei f are cel mult n + 1 elemente.

Marin Ionescu, Pites , ti

1 1 1
2
2
3
M 261. Fie ecuat , ia x + x + x + + + = (m + 1)(m − 2).
x x 2 x 3
a) Determinat , i m ∈ Z pentru care ecuat , ia are cel put , in o solut , ie ˆıntreag˘a.
b) Determinat , i m ∈ R pentru care ecuat , ia are cel put , in o solut , ie real˘a.

Marin Chirciu, Pites , ti

M 262. Fie polinomul
Ä√ ä Ä √ ä Ä√ ä Ä √ ä √
4
3
2
f = 3 − a X + 4 1 + a 3 X − 6 3 − a X − 4 1 + a 3 X + 3 − a,
◦
unde a = tg 4 .
a) Ar˘atat , i c˘a polinomul f are toate r˘ad˘acinile reale s , i distincte.

b) Determinat , i r˘ad˘acinile polinomului f.

Ionel Tudor, C˘alug˘areni

a
M 263. Demonstrat , i c˘a exist˘ o infinitate de numere ˆıntregi negative k astfel ˆıncˆat
−1 2 2024x
Z
(2024x − 2025) e 1
dx < .

x 2026 2024 · 2025 · 2026
k
Sorin Ulmeanu s , i Costel B˘alc˘au, Pites , ti
00
a
M 264. Fie f : [0, 1] → R o funct , ie derivabil˘ de dou˘ ori, cu f continu˘a, astfel ˆıncˆat
a
Z 1 Z 1 Z 1
2
f(x) dx = xf(x) dx = x f(x) dx = 1.
0 0 0
00
Ar˘atat , i c˘a max |f (x)| ≥ 60.
x∈[0,1]
Cˆand are loc egalitatea?

Florin St˘anescu, G˘aes , ti