Page 145 - MATINF Nr. 13-14

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI 145

Probleme propuse pentru liceu

Clasa a IX-a

M 245. Care este cea mai mic˘a valoare pe care o poate lua num˘arul

m
n
N = |2 − 3 | ,
unde m, n ∈ N ≥3 ?

Cristinel Mortici, Viforˆata

M 246. Ar˘atat , i c˘a ecuat , ia
√
Ä ä 3
2
2
a + b = c − a + b
are o infinitate de solut , ii (a, b, c), cu a, b, c numere naturale nenule distincte dou˘ cˆate dou˘a.
a
Marin Chirciu, Pites , ti

M 247. Fie a, b, c ≥ 1. Demonstrat , i c˘a

…
b + c c + a a + b
a · + b · + c · ≥ 3.
2
2
2
2
2
2
b + c + bc − 1 c + a + ca − 1 a + b + ab − 1
Cˆand are loc egalitatea?
Cosmin Manea, Pites , ti
M 248. Fie triunghiul ABC dreptunghic ˆın B, M mijlocul lui (AC) s , i D ∈ (BC) astfel ˆıncˆat
m(^DAC)
m(^DAB) = .
2
a) Ar˘atat , i c˘a pe semidreapta opus˘a semidreptei (DA exist˘a un unic punct E astfel ˆıncˆat
DC
BE = .
2
b) Pentru punctul E de la a), demonstrat , i c˘ ^BME ≡ ^DAC s , i c˘ triunghiul BME este
a
a
isoscel, dar nu este nici echilateral, nici dreptunghic.
Florea Badea, Scornices , ti

M 249. Demonstrat , i c˘a ˆın orice triunghi ABC are loc inegalitatea

r p + r 2
2
2
2
1 + sin A sin B + sin B sin C + sin C sin A > + .
R 2R
Mih´aly Bencze, Bras , ov